跌宕起伏荡气回肠地像一本武侠小说

摘自马丁·戴维斯《逻辑的引擎》****

  • 如果，一台为了微分方程数值解而设计的机器与百货商店里的一台用来开账单的机器的基本逻辑是一致的，那么我将把这看成我所遇到过的最令人惊异的一致。 –霍华德·艾肯

  • 莱布尼兹的眼光惊人地广阔和宏大。他为微积分运算而发明的符号一直沿用至今，这使得人们不用过多思考就可以很容易地进行复杂的演算。

  • 他梦想能够制造出完成这些演算的机器，从而使心灵从创造性的思考中解脱出来

  • 莱布尼茨对亚里士多德把概念分成固定的“范畴”着了迷，他产生了一种"奇思妙招":他想寻求这样一张特殊的字母表，其元素表示的不是声音而是概念。有了这样一个符号系统，我们就可以发展出一种语言，我们仅凭符号演算，就可以确定用这种语言写成的哪些句子为真，以及它们之间存在着什么样的逻辑关系。莱布尼茨一生都沉迷于亚里士多德的理论，并且对此矢志不渝。

  • 为让优秀的人像奴隶一样把大量时间浪费在计算工作上是不值得的，如果使用机器，这些任务就可以被安全地交给任何人去做

  • 把推理归结为一种演算，并且最终制成能够完成这些演算的机器

  • 计算面积和变化率的问题从某种意义上说很有代表性，因为许多不同种类的问题都可以还原为这两类问题中的某一类

  • 莱布尼兹为这些运算发展出了一套恰当的符号系统(这些符号一直被沿用至今)，d表示微分。这些发现把对极限过程的应用从一种只有少数几位专家能懂的奇特方法，变成了一种可以在教科书中向成千上万的人教授的直截了当的技巧。

  • 选取恰当的符号并且定出它们的操作规则是极其重要的，和d这些符号并不像一个语音符号系统那样代表着毫无意义的声音，而是代表着概念，这样就为莱布尼茨童年时的那种代表着一切基本概念的符号系统的奇思妙想提供了一个模型。

  • 就像许多品尝到了巴黎生活的特殊情趣的人那样，莱布尼茨想在那里尽可能长地呆下

  • 莱布尼茨似乎一直深信不疑，既然上帝在创世方面已经做得足够好了，所以在存在的事物与可能的事物之间必定存在着一种前定和谐

  • 莱布尼茨青年时的奇思妙想，即找到一个人类思想的真正的符号系统以及操纵这些符号的恰当的计算工具

  • 代数的“部分秘密就在于文字，也就是说在于恰当地使用符号表达式的技艺”

  • 正是代数符号体现了文字的理想，它成了一个典范

  • 这些字符是写不出在我们看来荒诞不经的想法（chimères）来的。一个无知的人将无法使用它，或者，通过努力学习使用它，他本人将变得博学多才

  • 首先，在合适的符号被选择出来之前，有必要创造一套涵盖人类知识全部范围的纲要或百科全书

  • 当牛顿声称一颗沙粒能够对遥远的太阳施加一种引力，而无需任何传播这种力的手段时，他实际上是在诉诸神秘的方法来解释一种自然现象，这是无论如何不能接受的

  • 由于买书的钱非常有限，布尔发现数学书提供了最好的机会，因为看完它们要比看完其他书花费更长的时间

  • 布尔的许多早期工作见证了莱布尼兹对恰当的数学符号系统的力量的信念，符号似乎无需什么帮助就能奇迹般地产生出问题的正确答案，为此莱布尼兹曾举过代数的例子。

  • 逻辑作为数学的一种形式（乔治.布尔）

  • 他从不向你表明他坏，但是当你接近任何一个如此单纯而圣洁的人时，你不由得会感觉他一定对你感到非常震惊，他使我感到自己非常令人厌恶；但是当孩子们和他在一起时，我总是很自在，我知道他们正在获取某种好的东西

  • 就像一场温暖和煦的梦

  • 三女儿艾丽西娅的几何能力非常出众，她能够十分清楚地想象四维的几何对象，这使她能够做出一些重要的数学发现。

  • 回到布尔应用于逻辑的新代数。我们还记得，如果χ和y表示两个类，则布尔将用xy表示那些既属于x又属于y的东西的类。他用这个记号是要暗示与普通代数中的乘法的类比。。用现在的术语来说，xy被称为x和y的交集

  • 如果只限于0和1两个值，那么逻辑代数就成了普通代数。

  • 如果我们把0解释成一个没有任何东西属于它的类，那么对于任何χ，Ox都将等于0；用现代的术语来说，O为空集。类似地，如果1包含我们所考虑的每一个对象，那么对于任何χ，1x都将等于χ，或者说，1是我们所要言说的全体。

  • 布尔的基本规则可以写成x^2=x或x-x^2=0.根据通常的代数规则把这个方程式分解，得到:x(1-x)=0.用语言来描述就是:没有任何东西可以既属于又不属于一个给定的类x…这个方程精确的表达了，曾被亚里士多德说成是一切哲学的基本公理的"矛盾律",同一种性质既属于又不属于同一个东西，这是不可能的……这是一切原理中最确定无疑的,因此，那些作论证的人把这当成一条最终的意见。因为它依其本性就是其他一切公理的来源

  • 像亚里士多德的矛盾律这样一个早期的重要里程碑原来只不过是新观念的一个特殊应用而已

  • 人类日常交流背后正在不自觉地发生的那种推理，却可以为布尔的代数所把握

  • 我们在第一章中所引述的莱布尼茨的话把A⊕A=A作为第二条公理，于是，莱布尼茨所考虑的运算就会遵循布尔的基本规则：xx=x。这与现代的做法相一致，它显示在这个方面莱布尼茨曾超前于布尔

  • 当他读到下面这些话时，他一定是比较欣慰的，“我发现我在一切本质方面都赞成您的观点……我在您的著作中找到了在其他逻辑学家的著作中不曾有过的探讨、区分和定义。“

  • “对基本问题进行严格的逻辑处理依然相当滞后，我在您的著作中找到了我所知道的这个时代最优秀的东西，因此，请允许我向您表达深深的敬意”

  • 正当工作就要完成之时发现那大厦的基础已经动摇，对于一个科学工作者来说，没有什么能比这更为不幸的了。伯特兰·罗素的一封信使我置身于这样的境地

  • 罗素写道:“每当我想到正直而又充满魅力的行动时，我意识到没有什么能与弗雷格对真理的献身相媲美。他毕生的工作即将大功告成，其大部分著作曾被能力远不如他的人所遗忘。他的第二卷著作正准备出版，一发现自己的基本设定出了错，他马上报以理智上的愉悦，而竭力压制个人的失望之情。这几乎是超乎寻常的，对于一个致力于创造性的工作和知识，而不是力图支配别人和出名的人来说，这有力地说明了这样的人所能达到的境界”

  • 20世纪最伟大的思想家之一，并且是弗雷格的崇拜者和学生的路德维希·维特根斯坦就算得上是一个犹太人。

  • 《概念文字》的副标题是:一种模仿算术语言构造的纯思维的形式语言

  • 现在我们应该很清楚了，弗雷格并不仅仅是对逻辑进行一种数学处理，他实际上创立了一种新的语言。在这一点上，他以莱布尼茨的普遍语言思想为导向，只要恰当地选择符号，语言就可以获得力量

  • 他的目标是要表明一切数学如何可能被建立在逻辑的基础之上

  • 这就使得把逻辑推理表示为机械演算即所谓的推理规则成为可能，这些规则仅仅与符号排列的样式有关。这也是第一次用精确的句法构造出形式化的人工语言。从这个观点看，概念文字是我们今天使用的所有计算机程序设计语言的前身。

  • 弗雷格的逻辑已经成了在数学系、计算机科学系和哲学系教给本科生的标准逻辑。

  • 从弗雷格逻辑中的某些前提出发，我们可以尝试运用弗雷格的规则以获得希望得到的结论。但如果这一尝试失败了，弗雷格就没有办法知道，这到底是由于智力发挥得不够或坚持不够彻底，还是因为希望得到的结论根本就无法从前提中导出。这一缺陷意味着弗雷格的逻辑还没有实现莱布尼茨之梦，即说一句“让我们算一下”，那些知道逻辑规则的人就可以成功地判定某个结论是否可以导出。

  • 弗雷格便希望能用纯逻辑术语来定义自然数，然后再用他的逻辑导出它们的性质

  • 3这个数将被解释为逻辑的一部分。这如何可能呢？自然数是集合的一种属性，即它的元素的数目…弗雷格的思想是要把3这个数等同于所有这些集合的集合。

  • 弗雷格的算数使用了集合的集合。罗素在信中指出，用集合的集合进行推理很容易导致矛盾。罗素的悖论可以这样来说明：如果一个集合是它自身的一个成员，那么就把这个集合称为异常的；否则就称它为正常的。

  • 所有不是麻雀的东西所组成的集合。无论这个集合是什么，它都肯定不是一只麻雀，所以这个集合(这个句子)也是异常的。

  • 如果一则数学证明陷入矛盾，那么就证明该论证的前提之一是错误的。从古至今，这条原则都被当成一种有用的证明方法

  • 晨星和昏星，它们的含义是非常不同的：一个是指日落后看到的星星，另一个是指日出前看到的星星。但两者都指称同一颗星体——金星。两者指的是同一对象，这个事实并不是显然的，它一度曾是一项真正的天文发现

  • 1892年，弗雷格仔一份哲学杂志上发表了一篇论文，他的题目或可译为"论含义与指称"(On Sense and Denota-tion)…可以说，当代计算机科学的某些重要概念也是源自这篇文章

  • 在弗雷格的逻辑中，除了那些最简单的演绎，其余的情况都复杂得让人难以忍受。这些演绎不仅长得可怕，而且在弗雷格的概念文字的逻辑中，他的规则也没有为判定某个结论是否可以从给定前提中推导出来提供计算步骤。

  • 无限的本性问题一直在困扰着数学家、哲学家和神学家。

  • 高斯曾警告说: “我极力反对把无限当成一种完成的东西来使用，这在数学上是绝不能允许的。无限只不过是言语上的一个比喻罢了。”

  • 而罗素正是在研究康托尔的无限的过程中发现这个悖论的。弗雷格肯定想象不到，由康托尔的无限所引发的激烈的讨论、研究和争辩有一天会为通用数字计算机的发展提供重要的启发。

  • 这个既多才多艺又有教养、既成熟又和蔼的人简直让人着迷

  • 如果我们发现一个礼堂中既没有空座位，又没有站着的人，那么我们（不必清点）就可以下结论说，礼堂中的人数与座位数是相等的

  • 或者谈论一个无限集中元素的数目是没有意义的，或者某些无限集将与它的一个子集具有相同的元素数目.莱布尼兹选择了前者，康托尔却选择了后者。

  • 实数集无法与自然数集之间建立起一一对应，无限集至少有两种大小。

  • 虽然高斯警告数学家不应与完成的无限打交道，但康托尔顾不了这些，他感觉到自己被无限的诱饵牢牢地套住了。

  • 在日常语言中，人们用两种不同但却相互有关联的方式来使用自然数1，2，3，……它们分别被用于计数和排序

  • 日常语言用基数和序数之间的差别来体现这一点：一、二、三……和第一、第二、第三……

  • 当康托尔提出这些思想时，他实际上是在对一个从未有人到过的领域进行着探索。他无法依靠任何数学规则，而不得不凭借自己的直觉独自创造。

  • 生活在一个有限世界的有限的人类竟然期望能够对无限作出有意义的断言。

  • 如果存在着一个由所有基数所组成的集合，那么它的基数该是多少呢？它必须要比任何基数都大。但这又怎么可能呢？一个基数怎么可能比所有基数都大呢？

  • 在许多数学家看来，最基本的逻辑推理似乎已经变得不可靠了，在这当中充满了陷阱。毫不奇怪，大多数数学家仍然继续着自己通常的工作，他们离这些问题还很遥远。

  • 对学科只满足于懂得一点皮毛，这不是格奥尔格·康托尔的风格。他使自己成了一名研究伊丽莎白时期特别是莎士比亚戏剧的专家，他发表了一系列专著声称证明了这些剧本其实是出自弗兰西斯·培根之手。

  • 康托尔相信，在超限之外存在着一个绝对的无限，它仅靠人类的理解力是永远无法完全企及的,甚至是出自集合论的令人苦恼的悖论也应当从这一点来理解。所有超限基数的乘积应当被认为是绝对无限的，这就是为什么仅仅认为它们是超限的就会导致矛盾的原因

  • 康德的批判哲学建立在两个关键问题之上: 纯粹数学如何可能？ 纯粹自然科学如何可能？ 康德对第一个问题的回答依赖于他所谓的对空间（对应于几何学）和时间（对应于算术）的“纯直观”。他认为这些直观完全独立于经验感觉。

  • 黑格尔拥有许多的追随者(著名的是卡尔·马克思和弗里德里希·恩格斯），直到今天，学者们仍然能够在他的著作中找到许多有价值的东西。然而，他有时作出的一些怪异推理只会招致嘲笑，

  • 在经验论者看来，理解世界主要依靠的是感觉材料。康托尔把这种经验论看作是对黑格尔式的胡说的一种反抗，但却发现它既粗糙又浅薄

  • 希尔伯特日复一日地穿着破裤子，这对许多人而言都是令人尴尬的。把这种情况得体地告诉希尔伯特的任务落在了他的助手理查德·库朗身上。库朗知道希尔伯特喜欢一边谈论数学，一边在乡间漫步，于是便邀请他一同散步。库朗设法使他们两人走过一片多刺的灌木丛，这时库朗告诉希尔伯特他的裤子被灌木丛刮破了。“哦，不是，”希尔伯特回答说，“它几星期前就是这样了，不过还没有人注意到。“

  • 在这些结果中，有很多是通过对符号的纯形式操作来获得的，人们对它们背后的含义并未作过多考虑

  • 要想让克隆内克接受一个对满足某种条件的、实际存在着的数学对象的证明，它就必须能够提供一种方法来明确地呈现出这个对象。希尔伯特不久将会在著作中挑战这种说法。许多年以后，他将这样向学生来解释这种区分，即在礼堂中所有听讲的学生中（他们中没有人是完全秃顶的），总有一个学生是头发最少的，尽管他没有明确的办法来识别出这个学生

  • 数学家们通常关心的正是找到那些能够在其他事物变化时保持不变的东西。

  • 的观点足以摧毁代数不变量的古典理论。今天，果尔丹主要是因其对希尔伯特证明的反应而被人记住的。“这不是数学，”他惊呼，“这是神学。”

  • 今天，果尔丹主要是因其对希尔伯特证明的反应而被人记住的。“这不是数学，”他惊呼，“这是神学。”

  • 为了使每个人都能理解，他显然动了不少脑筋；他是给学生讲课的，而不是给他自己。

  • 希尔伯特提出了一套几何学公理，以弥补欧几里得的古典处理中的几个漏洞，他强调了这门学科的抽象本性：必须能够说明，那些定理通过纯逻辑就可以从公理中推导出来，而不必受到我们从图形中所“看到”的东西的影响

  • 这里有一个问题，去找出它的答案，你能够通过纯理性找到它。

  • 希尔伯特列出的的第一个问题就是康托尔的连续统假设(

  • 即没有集合的基数介于自然数集与由所有自然数集所组成的集合的基数之间)

  • 以前对一致性的证明都是关于相对一致性的证明，也就是说它们都是把某一个公理集合的一致性归结为另一个集合的一致性，希尔伯特意识到，对于算术，他已经抵达了逻辑的根底

  • 如果可以通过有限次的逻辑过程证明，赋予一个概念的性质永远不会导致矛盾，那么我们就可以说，这个概念的数学存在性…被证明了

  • 当弗雷格收到包含罗素悖论的那封信后，他径直放弃了自己毕生的工作

  • 庞加莱坚持说:“实无限并不存在。康托尔主义者忘记了这一点，他们陷入了矛盾。"

  • 伯特兰·罗素并没有从战场中退却。他一直希望能够发展出一种符号逻辑体系，利用这种体系，就可以实现弗雷格把算术还原为纯逻辑的计划而不会导致悖论

  • 庞加莱在抨击罗素的工作时尖刻地指出:“很难理解，当我们写下∪的时候，“如果”一词便获得了当我们写“如果”时它并不具有的一种性质。“庞加莱并非没有注意到，严肃地看待罗素的工作将有可能把数学还原为纯粹计算。在嘲笑这一观念时，他说:“容易理解，要证明一个定理，知道它是什么意思并不是必需的，甚至也不是有用的……我们可以想象这样一台机器，我们从一端输入公理，从另一端就可输出定理，就像芝加哥那台传说中的机器,猪活着进去，出来的就是火腿和香肠。数学家和这些机器都不需要知道自己正在做什么。”

  • 悖论通过一种精心设计的、使用起来很不方便的分层结构而得以避免。(《数学原理》)

  • 1905年，布劳威尔从数学研究中抽空出版了一本小书《生活、艺术和神秘主义》（Life, Art and Mysticism），书中充斥着浪漫的悲观主义情绪。在描绘了这个“忧伤的世界”中的生活之后，这个忧郁的年轻人总结说： 放眼望去，这个世界满是不幸的人，他们想象自己能够拥有财产……同时滋生一种对知识、权力、健康、荣耀和愉悦的不知餍足的欲望。只有那些认识到自己一无所有、无法拥有任何东西、安全是不可企及的人，那些完全隐退、牺牲一切的人，那些不知道任何东西、不渴望任何东西也不想知道任何东西的人，那些放弃一切和看轻一切的人，才能得到一切：自由的世界向他开启了，这是一个没有痛苦的沉思的世界——一个一无所有的世界。

  • 在布劳威尔看来，数学就存在于数学家的意识中，它最终导源于时间这个“数学的原始直观”.真正的数学在数学家的直观中，而不在语言的表达中。数学非但不是逻辑（如弗雷格和罗素所主张的），逻辑本身倒是来源于数学…在数学中存在就意味着：由直观构造出来

  • 克隆内克认为，确立数学上的存在性的唯一有效方法就是构造

  • 对于这些命题，已知的方法还不能判定这一点。希尔伯特在对果尔丹问题的最初证明中使用了排中律，这是数学家的通常做法：他证明了否定这个猜想将会导致矛盾。在布劳威尔看来，这样一个证明是不可接受的。

  • 如果我们注意到希尔伯特言辞中浓烈的火药味，很可能以为他在狂热地欢呼即将来临的1914年的战争呢

  • 我看不出一个候选人的性别为什么会成为不能让她当讲师的理由，大学评议会毕竟不是澡堂（澡堂）

  • 希尔伯特及其合作者与布劳威尔和外尔之间的争论当然都植根于关于知识本性的基本哲学问题。事实上，双方的观点都受到了伊曼努尔·康德的深刻影响

  • 在提出狭义相对论的过程中，爱因斯坦深受恩斯特·马赫怀疑论的实证主义的影响，尤其是马赫对康德先验时间的批判

  • 哥德尔在青年时就开始阅读康德的著作，而且终生都保持对德国古典哲学家（尤其是莱布尼茨）的著作的浓厚兴趣。事实上，在一份尚未发表的哥德尔的遗稿中，他认为相对论如果被恰当理解，就可以被看作是证实了康德关于时间本性的某些观点。

  • 罗素所阐述的全部的数学都可以用一个形式逻辑系统来表示，以及维特根斯坦所强调的在语言内言说语言的问题，这些肯定影响了年轻的哥德尔的研究方向

  • 希尔伯特提出了在这些规则之间是否存在间隙的问题，也就是说，演绎推理应当是正确的，但规则本身却并不足以保证从前提能够得出结论。他相信并不存在这样的间隙，但他要求对规则本身是完备的进行证明

  • 哥德尔的完备性定理如果不使用非有限性方法就不可能获证

  • 同样的方法可以被用于任何形式逻辑系统。因此，各种不同的这种系统（所有这些系统从外部看都呈现为符号串）都可以用自然数来编码

  • 他能够构造出这样一个命题A，该命题经译码后，可以断言某一命题B在PM中是不可证的

  • 利用对角线方法，可以证明被断言为不可证的命题和那个作出这一断言的命题是同一个命题。哥德尔发现了如何获得这样一个非凡的命题，我们将称之为U，它有如下性质：U说某个特殊的命题在PM中不可证;那个特殊的命题就是U本身；因此，U说:“U在PM中不可证”

  • 对于一个类似于PM的系统中所表达的命题来说，命题为“真”的意义就是它根据该系统的规则是可证的。

  • 那些所谓高级程序语言的设计师们面临着这样的任务，他们要向程序员们提供可以包含非常复杂的运算的语句，而且还得使这些程序员们喜欢用它

  • 莱布尼茨曾经建议发明这样一种精确的人工语言，能够把人类的大多数思想还原为计算

  • 这里的非凡结论是，即使是局限于这个如此贫乏的词汇表，在PM内部不可判定的命题也可以被构造出来。

  • 一个形式系统的一致性不足以保证在该系统内被证明的命题是正确的（从外部看可能是假的）

  • 冯.诺伊曼称赞哥德尔是自亚里士多德之后最伟大的逻辑学家

  • 对于任何一个特定的形式系统，都会有数学问题超越于它

  • 婚姻的幸福永远是一个巨大的秘密，老人和所谓的智者对此所做出的预言往往会出错。哥德尔的婚姻就是这样，事实证明，他和阿黛勒的婚姻生活是持久而快乐的。

  • 歌德尔后来曾说，石里克被刺杀的1936年是他一生中最糟糕的年头。

  • 它(康托尔 连续统假设)断言由实数组成的无穷集合只有两种大小。小的无穷集合是那些与自然数集同样大的集合，也就是说这些集合能够与集合{1，2，3，……}一一对应起来。大的无穷集合是那些能够与实数集一一对应起来的集合。

  • 哥德尔开始相信，从能够作为数学基础的可能的形式系统来看，连续统假设是不可判定的。

  • 因此，大多数实数没有定义：它们是不可判定的。这是很奇怪的，你如何能够数出那些你不能定义的东西？谈论一个其中有许多数字不可定义的实数集，这有意义吗

  • 他认为连续统假设很有可能是“绝对不可判定的”

  • 到了20世纪40年代的早期，哥德尔转向了哲学研究，毫无疑问，这在一定程度上有助于他形成自己对无穷集合的看法。他尤其对莱布尼茨情有独钟，这位古典哲学家对他最有亲和力

  • 高等研究院的成员没有作演讲、指导学生和发表文章的义务，在这种宽松的环境下，哥德尔只有在收到非常特殊的邀请时才会作演讲或是发表文章。发出这样的邀请的主要是《在世哲学家文库》。哥德尔应邀评论了伯特兰·罗素、阿尔伯特·爱因斯坦和鲁道夫·卡尔纳普

  • 哥德尔宣称:集合和概念可以被"认为是真实的对象…它们独立于我们的定义和构造而存在…假定这样的对象与假定物理对象具有同样的合法性，我们有相当多的理由相信它们存在。”

  • 数究竟是什么？它们仅仅是人类的构造，还是有着某种客观的存在性？

  • 有一种学说认为，抽象的对象（比如数和数的集合）是客观存在的，人们只能发现而不是发明它们的属性.这种学说通常被归之于柏拉图，因此也被称为柏拉图主义。哥德尔坚持这种学说，标志着他的观点发生了明确转向…那时他还宣称柏拉图主义不可能“让任何批判性的心灵感到满意”

  • 人类将会拥有一种新的工具，它对理性力量的增加将远远超过任何光学工具对视觉力量的增加。

  • 他发现广义相对论（爱因斯坦的引力理论）的方程有一个解与物理学家们曾经设想过的非常不同。引人注目的是，哥德尔所找到的方程的解表示这样一个宇宙，只要时间足够长，速度足够快，在该宇宙中的旅行就可以回到过去。很自然地，这样一个世界容易受到时间旅行悖论的攻击，

  • 在发表文章以前，哥德尔通常要一遍又一遍地细心审订，直至令自己完全满意为止。即使在发表之后，他也会利用重印的机会进行进一步的修订。眼瞅着截稿日期一拖再拖，他的编辑们常常因此而感到灰心丧气

  • 他试图通过间接地谈论自己关于心灵不只是蛋白质分子的信念而去安抚鲁宾逊。显然，这暗示了人

  • 他试图通过间接地谈论自己关于心灵不只是蛋白质分子的信念而去安抚鲁宾逊。显然，这暗示了人是有来生的。这是哥德尔的另一种典型风格。

  • 但哥德尔却对美国宪法作了那种只有他才会做出的细致分析，而且当他得出结论说美国宪法确实是不一致的时候，他变得异常激动。

  • 哥德尔后来陷入了一种怀疑食物安全性的妄想症之中，他深爱的妻子也因为病重而不能给他太多的帮助，此时他竟绝食而死

  • 今天，如果我们想用一个类似的比喻来强调计算机的威力和应用范围，那么我们就会发现，写出这个句子并不容易。几乎任何可以设想的包含符号、数字或文本的任务都或者已经处于计算机的能力范围之内，或者某位专家预言不久就可以做到

  • 他是一个早熟的快乐的孩子，很乐意交朋友，同时也是一个做事笨手笨脚的邋遢孩子…他的一位老师曾认为科学是“低等的和狡猾的”…最重要的是，他的作业污迹斑斑，字体几乎无法辨认。

  • 哈代（1877～1947）是剑桥的大数学家，他于1908年出版的《纯粹数学教程》（Course of Pure Mathematics）已经成了一本经典教科书，一代又一代的青年数学家从中掌握了极限过程的基本性质。

  • 爱丁顿在课上提出了这样一个问题，为什么如此众多的统计观测似乎都沿着著名的钟形正态分布曲线排列。图灵证明了大量统计分布都以正态分布为极限从而趋向于它，这是对微积分的极限过程的一次出色运用。阿兰·图灵并不知道，他的发现早已作为中心极限定理而广为人知了

  • 莱布尼茨曾经梦想能够把人的理性还原为计算，并且有强大的机器能够执行这些计算。弗雷格第一次给出了一个似乎能够解释人的一切演绎推理的规则系统。哥德尔在1930年的博士论文中曾经证明了弗雷格的规则是完备的，这样就回答了希尔伯特两年前提出的一个问题。希尔伯特也试图找到清楚明白的计算程序，只要用所谓一阶逻辑的符号系统写出的某些前提和结论给定，那么通过这些程序就总是可以判定，弗雷格的规则是否足以保证结论能够从那些前提中导出

  • 事实上，传统数学课程在很大程度上就是由这些或被称为算法的计算程序构成的。我们先是学习数的加减乘除算法，然后又学习对代数表达式进行操作和解方程的算法。如果我们又学习了微积分，那么我们就学会了使用莱布尼茨最早为这门学科发展出来的算法。然而，希尔伯特所要找的是一种范围极广的算法。从原则上讲，解决他的判定问题的算法将把人的一切演绎推理都还原为冷冰冰的计算，它在很大程度上将实现莱布尼茨的梦想。

  • 数学家们经常喜欢从两个方向解决一个困难的问题。一方面，他们试图考虑一般问题的特殊情形，而另一方面则是把一般问题还原为某些特殊情形。

  • 他（哈代）不无气恼地评论道：“当然不存在这样的定理，这是非常幸运的，因为它如果存在，那么我们就可以用一套机械的规则来解决一切数学问题，我们数学家的活动也就将寿终正寝了。”哈代当然不是第一个确信他的技巧永远也不会被机器替代的行家里手，但后来的结果表明，这位行家说对了！

  • 拓扑学研究的是几何形体经过任意拉伸（只要没有撕破）而保持不变的性质

  • 图灵知道，一种算法往往是通过一系列规则指定的，一个人可以以一种精确的机械方式遵循这些规则，就像按照菜谱做菜一样

  • 纸带上只有一个符号，这个符号被称为被注视符号。根据其内部布局和被注视符号，机器将在纸带上写下一个符号（取代被注视符号）…重要的只是它能够控制一个具有不同布局（也被称作状态）的数

  • 基于图灵对计算概念的分析，我们就有可能得出结论说，通过某种算法程序可计算的任何东西都可以通过一台图灵机来计算…任何计算都可以通过一种后来被称为图灵机的受到严格限制的装置来实现。

  • 我们需要它所有可能的状态。然后，对于每一个状态以及纸带上可能出现的每一个符号，我们必须指明处于那个状态的机器遇到那个符号时会怎样进行操作

  • 图灵把康托尔的对角线方法应用于这种情况，得到了图灵机所不能解决的问题，由此便推出了判定问题的不可解性。

  • 让我们把由前一类自然数所组成的集合称为图灵机的停机集合…对角线方法将允许我们构造出一个与图灵机的任何停机集合都不同的自然数集合

  • 你说的真是很有道理。但如果我同意你已经证明了你的观点，那么我就不再是一个顽固的人了。

  • 自然数集D的定义使它与任何图灵机的停机集合都不同…因为D是用对角线方法构造出来的，所以它与任何图灵机的停机集合都不同…我们关于存在着一种区分D的成员与非成员的算法的假定必定是错误的

  • 正如我们已经看到的，希尔伯特和哈代都相信，对于判定问题的一个算法解将意味着任何数学问题都可以通过一种算法来解决

  • 正如我们已经看到的，希尔伯特和哈代都相信，对于判定问题的一个算法解将意味着任何数学问题都可以通过一种算法来解决。所以一旦我们有了一个在算法上不可解的数学问题，那么判定问题的不可解性就得到了

  • 用一种现代的编程语言所写成的程序对于处理它以使其指令能够得到执行的解释程序或编译程序来说就是数据.图灵的通用机本身就可以被看成一个解释程序，因为它是通过解释一连串五元组来执行它们所标明的任务的。

  • 图灵的分析为理解古代的计算技术提供了一种独到而深刻的角度。计算的概念原来远不止算术和代数运算

  • 由于从系统外部考察时，哥德尔的已知系统的不可判定命题可以被看成为真

  • 冯·诺依曼显然决定不再与逻辑打交道了。他甚至有一句名言说，在哥德尔1931年的工作出来之后，逻辑方面的文章他一篇也不读了

  • 图灵的通用计算机是一个奇妙的概念装置，它仅凭自己就可以执行任何算法任务…除了这种机器原则上所能完成的任务之外，它的设计和制造能否使其在可以接受的时间内应用适量的资源来解决真实世界的问题呢？

  • 德军用来通信的是一台被称为“谜”（Enigma）的改良的商用加密机器。

  • 阿兰·图灵倾向于忽视我们大部分人生活于其中的社会框架

  • 香农说明了如何仅用两个状态就可以制造出一台通用的图灵机

  • 冯·诺依曼是一个既虚荣又卓越的人，他很善于通过纯粹的理智力量在一门数学学科上留下自己的名字

  • EDVAC还包含了一个实现逻辑控制的器件。它把需要执行的指令（每次执行一条）从存储器转移到算术器件。计算机的这种组织方式后来被称为“冯·诺依曼结构“

  • 指令和数据之间的这种不固定的界限就意味着，我们可以设计出把其他程序当成数据的程序…对于编译程序而言，这些程序就是数据

  • 有两种装置可以用作计算机的存储器，它们是水银延迟线和阴极射线管。延迟线是由一个充满液体水银的管子构成的，数据以声波的形式存储在水银里，声波在管子的两端来回反射

  • 图灵和冯·诺依曼的观点在概念上是如此简单，而且在很大程度上已经成了我们的理智背景，以至于我们很难理解它当时到底有多么新

  • 但ACE报告却“是对计算机的一次完整描述，一直到逻辑电路图”，甚至还包括“预算为11200英镑”。在ACE有可能处理的10个问题的清单中，图灵凭借他那宽广的视野，把两个并非与数字数据直接相关的问题——下棋和简单的拼图玩具——包括了进来。

  • 它与我们的研制路线极为抵触，它更多地沿袭了美国的传统，即通过更多的设备而非思想来解决问题。……不仅如此，某些我们认为比加法和乘法更为基本的操作被漏掉了

  • 我们今天所使用的个人电脑是建立在硅微处理器的基础之上的，它实际上就是芯片上的通用计算机，它们已经变得越来越精致了。而被一批计算机制造者所采纳的相反的纲领，即所谓的RISC（精简指令集计算）结构，则在芯片上使用了最小指令集，它又一次与ACE的哲学相一致。

  • 图灵在讲演的最后提出“要让与人同样会犯错误的计算机进行公平竞赛”，并且建议可以从下棋开始检验。要知道，所有这些想法都是在没有一种设备完成的

  • 图灵在讲演的最后提出“要让与人同样会犯错误的计算机进行公平竞赛”，并且建议可以从下棋开始检验。要知道，所有这些想法都是在没有一种设备完成的情况下提出的！报告作完，听众们惊讶得鸦雀无声

  • 冯·诺依曼是第一个清楚地懂得计算机本质上执行的是逻辑功能，而电的方面则是辅助性的人。

  • 微积分课本上讲述了计算这些值的方法，它决不超出算术的四种基本运算。

  • 在ACE报告中，图灵说计算机程序设计过程"应当是非常吸引人的，它不应被沦落为苦差事，因为任何非常机械的过程都可以交由机器本身去处理。”

  • 现代计算机的创造是由如此众多的思想和技术进步共同完成的，以至于把它的发明完全归功于一个人是太不明智了。但有一个事实仍然成立，那就是每一个敲击键盘、打开电子数据表或Word处理程序的人都是在实现了的图灵机上工作的。

  • 计算机的哪些功能应由硬件来实现。哪些应由软件来实现。

  • 动词“估计”（reckon）的通俗用法为我们提供了一条线索，在这里它没有了通常的含义：“计算。”

  • 当某个人被说成是一种善于算计的人的时候，我们对这种评价完全心领神会。

  • 把逻辑推理简化为形式规则的努力可以追溯到亚里士多德.他的工作是莱布尼茨关于一种普遍的计算语言的梦想的根本基础

  • 计算和逻辑推理确实是同一个硬币的两面，利用这一洞见，我们不仅可以为计算机编程，从而使其能够完成各种任务，而且还能设计研制它们。

  • 1950年，阿兰·图灵发表了他的经典论文“计算机与智能”

  • 图灵其实是在不陷入哲学和神学问题的泥淖的情况下，探讨一台计算机是否可以表现出智能行为。为此，他提出了一种客观的、易于操作的检验方法：假如一台经过编程的计算机能够与一个有着正常理性的人谈论任何话题，而且用户判断不出来他是在同一个人交谈还是在同一台机器交谈，那么我们就可以说这台计算机是具有智能的

  • 原来的故事说，屋子里有一个人从屋外收到了一些符号，然后他通过查一本书来决定他将发回哪些符号。那本书是以一种特别的方式写成的，这使得来回往复的符号构成了一次中文对话。但这个人并不懂中文

  • 当代哲学家所使用的方法之一就是讲一些荒谬的故事，从而使那些并不明显的联系显示出来。

  • 电子正在电路中来回运动。这就好像，假如你能在卡斯帕罗夫下棋时看到他的头骨内部的情况，那么你将看不到任何棋子，而只能看到神经元的脉冲

  • 他坚持说“深蓝”不知道任何东西。而那些富有专业知识的工程师却有可能声称，“深蓝”的确知道各种东西。例如，它知道能将给定方格中的象移动到哪几个方格去。这完全取决于“知道”是什么意思。

  • 我们的意识是我们体验自身独特的个体性的一种主要方式，但我们只是从内部才知道它的。我们可以经验到自己的意识，但却不能经验到他人的，我把我的意识经验为一种内在的交谈。我的妻子向我保证，她的意识是由视觉图像所支配的。她的意识和我的意识真是同一种东西吗？它到底是什么，为了什么目的而服务？当我写作时，我试图寻找合适的词，（如果幸运）它从我意识的深处浮现了出来。我不知道我的大脑是如何做到这一点的。

  • 我们的大脑是通过什么样的过程把视网膜传入大脑的原始数据转变为呈现给我们的清晰图像的。我们不知道这些事情是否就是通过我们的大脑执行算法来实现的，但我们并不能肯定这就不是它的实现方法。

  • 德尔定理仅仅适用于那些只生成真陈述的算法

  • 哥德尔的定理无法防止把人类心灵的数学能力等同于一种既能产生真陈述又能产生假陈述的算法过程。

  • 而库尔特·哥德尔则愿意相信，大脑实际上就是一台计算机，但他拒不接受超越于人脑的心灵并不存在的观点。事实上，古典的心-身问题是哥德尔所关注的问题的核心。他认为心灵以某种方式独立于我们作为物理实体的存在，他的这种立场通常被称为笛卡儿的二元论

  • 他们中的每一位都以这样那样的方式关注人类理性的本性。他们每个人的贡献加在一起便构成了理智的母体，由此孕育出了通用数字计算机

  • 本书中的故事强调了观念的力量以及预测它们结果的徒劳。