哥德尔、艾舍尔、巴赫

— 摘自侯世达《哥德尔、艾舍尔、巴赫》

中国对于西方人似乎是个最具异国情调的国家，中文是种最有异域风味的语言。
旧金山是个有众多中国人和世界著名的“唐人街”的城市。每隔几个月，我的父母就会带我去旧金山，并且必然要光顾那里的唐人街，逛一逛中国商店，在中餐馆吃饭（当然是用筷子！）。这种旅行总能给我极大的快乐。
我买了一本汉英辞典，试图学会一些方块字，但这太难了，我很快就放弃了。
这本书是由交插的对话和章节组成的，这种格式使得种种概念先在对话中得以介绍，接着在随后的一章中更深刻地“回响”出来。
第一位译者的所作所为，就像讲一个有关安阿伯的故事，但是只要出现‘安阿伯’就都用‘芝加哥’来替代——或者甚至用‘华盛顿’来替代！”显然，这个有趣的类比的原意是要嘲弄性地模仿用著名城市代替偏僻城市的做法，但是这里面却有一个超乎本意的效果：这个类比本身正是它所打算嘲笑的那种做法的一个无意的、但却是优美的例子！具体点说，吴教授为了让我们理解那种译法，把他对第一个译者的看法从亚洲的参考系“翻译”到美洲的参考系之中了，因为他猜测，放在其原来背景中未经改动的事实不具有足以说服我的直接性和清晰度。他想说明“移译”——即为了适应听众而改编一个故事，正像第一个译者所做的那样——是一种不好的方法。
这个问题可以被勾画为一场“浅层忠实”和“深层忠实”的冲突——这就是说，对英语散文逐字逐句的结构的忠实与对英语词汇选择背后的灵感的忠实的冲突。
用老办法译《集异璧》“形同没辣味儿的川菜”。有趣的是，这句话可以看作是我的“像没泡沫的可口可乐”这句话的移译
在我看来此处的关键在这儿：人们必须要区别其信息根本上是独立于文化的书（诸如《集异璧》和多数非小说类的著作），与那些其信息根本上是依赖于文化的书（大多数的小说，如果不是全部的话）。对于后者来说，将它们进行“文化移植”——即在目标文化的所有层次上重构它们——显然是一场灾难。如果那样做，原文的所有痕迹就都丧失掉了，人们得到的一切只不过是在一个全新的背景中讲述的、引起人们模糊联想的故事。
我认为移译适用于像《集异璧》这样的科普教育著作。虽然它们旨在传递一些独立于文化的信息，但却常常是借用例证的力量来示教的，即利用笑话、双关、轶闻、隐喻、类比、比喻等等，而这些都是深深地根植于原著写作时所在的语言和文化之中的。在任何译著中，思想应该同在原著中一样清晰和令人激动地活现出来，这才是至关重要的。
形式系统中符号是如何以及何时获得意义的
广泛地讨论了意义是如何分布于编了码的消息、解码器和接收者之中的
大脑的硬件是如何支持思维的
不同语言——或者说实际上是不同的心智——可以彼此“映射”吗？在两个彼此分离的生理大脑之间进行交流是如何可能的呢？一切人类大脑所共有的东西是什么呢？使用了地理上的对应以提供一种解答。问题是：“大脑能否在某种客观的意义上被局外人所理解呢？”
信息是如何在这类系统的各个层次上传递的
他在波茨坦的宫廷是十八世纪欧洲知识界活动的主要中心之一。著名数学家欧拉在那里住过二十五年。还有许多别的数学家、科学家以及哲学家——包括伏尔泰和拉·梅特利在内，他们的一些最有影响的作品就是在那里写出来的。
他（腓德烈）跟我谈到了音乐和一位名叫巴赫的了不起的管风琴师，他在柏林曾经住过一段时间。这位艺术家（威廉·弗里德曼·巴赫）在和声知识的深度和演奏能力方面所具有的天才超过我听到过或能想象到的任何人
觅之，自有所获
赋格的概念远不如卡农那么严格，因而允许有更多的情感或艺术的表现。
总的来说，《音乐的奉献》是能代表巴赫在对位法方面最高成就的作品之一。它本身就是一部大型的、高度理智化的赋格，其中许多概念和形式彼此交织，游戏式的双重意义和微妙的影射随处可见。这是一部令人百听不厌的人类智能的优美绝伦的创作
正像巴赫和艾舍尔的圈是作用于人们简单而古老的直观一样（音阶和楼梯）
他说过一句不朽的话：“所有克里特岛人都是说谎者。”这一语句的一种更直截了当的说法是：“我在说谎”，或者，“本句子是假的”
他的想法是用数学推论探索数学推论本身。这种使数学“内省”的观念有巨大的威力，也许它最丰富的涵义就体现为哥德尔发现的哥德尔不完全性定理
可以把这一定理比做是一颗珍珠，而证明它的方法则是一只牡蛎。珍珠由于它的光泽和朴素而被称赞，牡蛎则是一个复杂的有生命的动物，它的内部结构是产生这种神秘的小珍宝的根由。
数论的所有一致的公理化形式系统都包含有不可判定的命题
哥德尔不完全性定理的证明的关键在于能写出一个自指的数学陈述，就像说谎者悖论是语言中的自指语句一样。尽管用语言来谈论语言似乎是很简单的，然而，要发现如何让一个关于数的陈述能够谈论它自身，可就不那么容易了。事实上，只有天才才能将自指陈述的概念与数论联系起来。哥德尔一旦通过直觉发现这样一种陈述是可以创造出来的，他就已经跨越了主要障碍。这一陈述的实际创造就是这一优美的直觉火花所产生的结果
数学陈述——这里我们只讲数论的陈述——是关于整数的性质的。
在哥德尔编码——通常称做“哥德尔配数”——中，数是用来代表符号和符号序列的
哥德尔一旦发明了这种编码的方法，他就得找出一个具体的把说谎者悖论转换成数论形式的方法
在哥德尔的工作中，“证明”一词所涉及的那个特定的数论推理系统，就是1910至1913年间出版的罗素和怀特海合著的巨作《数学原理》中的那个系统。
这个数论语句在《数学原理》的系统中是不可证的。
哥德尔展示了，无论涉及到什么公理系统，可证性总是比真理性弱的概念
哥德尔定理对于那些对数学的基础感兴趣的逻辑学家、数学家和哲学家们产生了震撼性的影响。因为它展示出了，无论多么复杂的确定的系统，都不能表示出整数：0，1，2，3……的复杂性
事情是从将推理的思维过程加以机械化这一努力开始的
通常认为，使人类有别于其它动物的东西就在于人类有推理能力。所以把最代表人类特点的东西加以机械化，这乍看起来多少有点自相矛盾。然而，即使是古代希腊人也懂得推理是种合乎一定规范的过程，起码是部分地受固定的规律支配的。亚里士多德把三段论规范化，欧几里德整理了几何学，
这里所说的“几何学”是指关于抽象的点与线的性质的理论。
它对于“数学是研究现实世界的”这种观念提出了深刻的挑战。
所有这些努力都指向了对人们所说的“证明”是什么含义这一问题的廓清
其中最著名的是罗素悖论。大多数的集合，看起来不会是它们本身的元素——例如，海象的集合不是一只海象
大多数集合是“普通的”。然而，有些“自吞”的集合确实包括其自身作为该集合的元素。例如包括所有集合的集合，或包括除圣女贞德之外的一切事物的集合等等。
没有什么能阻止我们发明一个R：一个包括所有普通集合的集合，乍看起来，R似乎是一个相当普通的发明，但是，你一旦问自己：“R本身是一个普通的集合还是一个自吞的集合？”原来的看法就必须修正了。你会发现答案是：“R既不是普通的也不是自吞的集合，因为任何一个选择都将导致悖论。”不妨试试看！
关键问题似乎在于：“我们对于‘集合’的直观概念有什么毛病？
一类是自描述的，像“四个字的”
为什么不去取缔自指以及一切允许产生自指的东西呢？这看起来容易，其实不然。因为要断定自指出现在什么地方是非常困难的。
这个“扩展了的”说谎者悖论，它使人联想起《画手》：下面这个句子是假的。上面那个句子是真的。放在一起看，这两个句子和原来的说谎者悖论有着同样的效果。但是分开来看，它们却是无害的、甚至很可能是有用的句子。这个怪圈不能“归咎”于任何一个句子，而应归咎于它们互“指”对方的方式。同样，在《上升与下降》这幅画中，每个局部都是合理的，只是把它们组合在一起，才出现了不可能的事
但是这是以引进看起来是人为的层次为代价的，并且不允许形成某些类的集合，比如所有普通集合的集合。
在这个层次结构的最底层是对象语言。对象语言只涉及特定的域，而不涉及对象语言本身（比如它们的文法规则，或其中的具体句子）
但是如果涉及的是语言，是渗透于生活各处的语言，这种分层就显得荒唐了。我们在说各种不同的事物时，不会想到我们是在语言的层次间上蹿下跳。像这样的句子：“在本书中，我批评了类型论”，平平常常，却会在我们所讨论的系统中被双重禁止：第一，它提到了“本书”，而这是只能在“元书”中提及的东西；第二，它提到了“我”，而这是我这个人所根本不允许提到的一个人！这个例子指出，当你把类型论引入一个你所熟悉的情景中时，它看上去是多么愚蠢。我们采用的补救悖论的办法——把任何形式的自指全部驱除——实际上是一种过头的做法，它把许多完美无缺的语言构造都算作是无意义的了
这种不惜一切代价消除悖论的做法，尤其是当它需要创造人为的形式系统的时候，未免就太过于强调简单的一致性，而忽视了离奇与怪异，而正是后者才使得生活与数学趣味无穷。当然，保持一致性很重要。但是这种努力如果迫使你进入一个非常丑陋的理论，你就会觉得什么地方出毛病了
另外一个与此有关的担忧是逻辑的悖论，像说谎者悖论，它们很可能是数学中固有的
“数学与逻辑学是否是有别的、分离的”这一问题，是很多争论的根源。
企图从逻辑学中导出所有的数学，而且一定不能有矛盾，这就是《数学原理》一书要达到的目的
这个问题尤其困扰着著名的德国数学家（也是元数学家）大卫·希尔伯特。他曾向世界上的数学家（和元数学家）提出这样一个挑战：严格地论证（可能就是用罗素与怀特海提出的方法）《数学原理》一书中定义的系统既是一致的（无矛盾的）又是完全的（也就是说：每一个数论的真陈述都可以在《数学原理》所给出的框架之中推导出来）。这是一个很高的要求，人们可以批评它多少有点循环论证：你如何能用你的推理方法来证明你所用的这一套推理方法是正确的呢？这就好像是要拽着自己的鞋带把自己举起来。（我们好像简直无法从这些怪圈中解脱出来！）
希尔伯特当然充分了解这种两难局面。因而表示希望找出一个对一致性或完全性的论证，而这个论证只用到推理的“有穷”形式，即那些通常被数学家所接受的一小类推理方法。希尔伯特希望，用这种方法，数学家们可以拽着自己的鞋带把自己部分地举起来：只利用数学中的一小部分方法来证明整个数学方法是正确的。这一目的听起来也许很渺茫，但是它在二十世纪的前三十年占据了世界上许多最伟大的数学家们的思想
没有一个公理系统可以产生所有的数论真理，除非它是一个不一致的系统！
帕斯卡和莱布尼茨设计了进行固定运算（加法和乘法）的机器。不过，这些机器没有存储器，用现在的术语来说，它不是可编程序的
同以前设计的机器不同，这种“分析机”带有存储器（记忆器）和“加工装置”（计算和做出判定的部件）
随着分析机的发明，人类将可以产生机械化的智能。尤其是如果它能“自食其尾”（这是巴比奇用以描述当一部机器探进自己的内部，改变它内部所存储的程序时所产生的怪圈的说法）的话。
它把原来彼此独立的三个领域综合在一起了。这三个领域是：关于公理化推理的理论、机械计算的研究和智能心理学。
哥德尔定理在计算理论中有其对应物，这是阿兰·图灵发现的。
巴比奇曾经说过，假如他能在五百年后回到世界上进行一次为期三天的有向导的科学旅行，他将很愿意放弃他的余生
每跨跃一个障碍都要产生一个新的障碍。目标的这种神秘的退避有什么深刻的原因吗？
谁也不知道非智能行为和智能行为之间的界限在哪里
但是智能的基本能力还是确定的，它们是：对于情境有很灵活的反应；充分利用机遇；弄懂含糊不清或彼此矛盾的信息；认识到一个情境中什么是重要的因素，什么是次要的；在存在差异的情景之间能发现它们的相似处；从那些由相似之处联系在一起的事物中找出差别；用旧的概念综合出新的概念，把它们用新的方法组合起来；提出全新的观念
这便是人工智能所要研究的全部。人工智能工作的奇异之处就是试图将一长串严格形式化的规则放在一起，用这些规则教给不灵活的机器如何能灵活起来
一定有“元规则”修改“十分平常的”规则，而且有“元元规则”修改元规则
智能的灵活性来自大量的不同规则和规则的层次。之所以一定有许许多多的在不同层次上的规则，是因为在生活中，生物面对着成千上万的完全不同类型的境况。在某些境况中，只存在要求“十分平常的”规则的刻板反应。有些境况是一些刻板境况的混合——这样，就需要决定要使用哪些“十分平常的”规则的规则。有些境况无法分类——那么，就一定要有发明新规则的规则……等等。无疑，包含着那些直接或间接地改变自己的规则的怪圈是智能的核心
哥德尔和艾舍尔和巴赫只是某个奇妙的统一体在不同方向上的投影
照芝诺的说法，只是在人们的头脑中，运动才显得可能，而实际上，运动从本质上说是不可能的。他的证明很漂亮。
真如即一，具有不变异性，森罗万象及动迁变化皆是感官的幻觉
我们把这种可以从规则中产生的符号串叫做定理。
也许因为这个原因，对于大多数人来说，具有“不去观察”这一特点，似乎是机器的特征。例如，如果有人说某项工作是“机械的”，这指的不是人没有做这项工作的能力，而是隐含着这样的意思：只有机器可以永不抱怨或者不知疲倦地反复做这项工作。
能够跳出正在进行的工作并且看一下已经做了些什么，这是智能固有的特点。它总是寻找并且常常能找到模式。
就好比一个正在读书而感觉困倦的人，他不是连续地把这本书看完，而可能把书搁在一边儿，把灯关掉。他“出了系统”，而这对我们来说似乎是再自然不过的了。或者，假设一个人，A，正在看电视，B进了屋子，并且明显地表示出对于当时的状况不喜欢。A可能认为他理解了问题的所在，并且试图通过从当前系统（那时的电视节目）退出来改变一下现状，于是他轻轻按了一下频道钮，找一个好一点儿的节目。
当然也有这种情况：只有极少数的人有那种眼光，看出一个支配着许多人生活的系统，而以前却从没人认为这是一个系统。然后这些人常常就投入毕生的精力去使其他人相信那个系统确实存在，而且应该从中退出！
假如把“系统”定义成“在下棋的游戏中走棋的系统”，那么，很清楚，这个程序有一个很复杂的事先编好的有能力从系统中退出的程序。另一方面，如果把“系统”定义成“这部计算机按照程序所做的一切”，那么无疑地，这部计算机没有什么从那个系统中退出的能力。
生活是由许多连结并交织又常常是不协调的“系统”组成的
非常清楚地形成一些简单的概念，以便人们可以在思考更复杂的概念时把它们作为模型，这常常是重要的。
看起来应该是有无限多种不同的顺序来应用这些不同种类的规则，这就使得用这种或那种方式来产生WU有了希望。
设想在这个世界上有一个怪物，它有足够的时间，并且喜欢把时间用来以有秩序的方法去产生WJU系统的定理。
那些推理规则与WJU系统中的公理是隐含地刻划了那些是定理的符号串
“x-qxp-”这个表达式本身并不是一条公理（因为“x”不属于pq系统）。它更像是一个铸出所有公理的模子——它被称做公理模式。
“同构”这个词的适用情景是：两个复杂结构可以互相映射，并且每一个结构的每一部分在另一个结构中都有一个相应的部分
当一个数学家发现在他所知道的两个结构之间有同构关系时，就会感到很愉快。这种关系常常“从天而降”，让人惊喜不已。认识到两个已知结构有同构关系，这是知识的一个重要发展——并且我认为，正是这种对于同构的认识在人们的头脑中创造了意义。
人们并非总能搞清何时才是真正地发现了同构。因此，“同构”具有通常的词所具有的模糊性。这一点是它的缺陷，但也是长处。
这种符号与词之间的对应关系有一个名称：解释
释读的唯一方法就是建立在以知识为基础的猜想上的试错法。
这些人的想法是：建立一个形式系统，它的定理同构地反映一部分现实世界。在这种情况下，对于符号的选择是有高度目的性的，就像是对于符号串的生成规则的选择那样。我设计pq系统时就是这样的。你可以看出来，我为什么选用了我所选的符号。定理与加法同构这一点不是偶然的，同构之所以发生，是因为我有意地找到了一种通过符号形式反映加法的方法。
形式系统中的符号虽然一开始没有意义，但至少在发现了同构关系时，不可避免地会带上某种“意义”
形式系统中的意义与语言中的意义的区别是非常重要的。这区别是：在语言中，当我们知道了一个记号的意义，我们就能基于这个记号做出新的陈述。从某种意义上说，语言中的意义是“主动的”，因为它为创造句子带来了一条新规则
加法是那么一个简单的概念。加法可以很简单地体现在一部机器的旋转的齿轮之中，就像在现金出纳机中那样。
现实的哪一部分能够用一组支配无意义符号的形式规则来加以模仿。现实世界的一切都可以变为形式系统吗？从一个很广的意义上说，回答可能是肯定的。比如，人们可以设想，现实世界本身只不过是一个非常复杂的形式系统。它的符号不是在纸上移动，而是在一个三维空间里运动，它们是组成一切事物的基本粒子（这里包含着一个隐含的假定，即：物质的可分性是有尽头的，因此，基本粒子这个词是有意义的）。“印符规则”是物理法则，它告诉人们如何根据给定的时刻从给出的所有粒子的位置和速度，得出属于“下一个”瞬间的一组新的位置和速度。所以这个宏伟的形式系统的定理，就是粒子在宇宙历史中不同时间的可能布局
从根本上说，我们是在问宇宙是否是以完全确定的方式运动，而这是个尚未解决的问题。
而只有极易轻信的人，才愿意相信他们最后数出的结果
乘法的数字变换法则多半是基于加法、乘法的少数几条性质，而这些性质被假定是对于所有的数都有效的。
乘法的交换律和结合律就是这样一种假定：以各种方式旋转那个长方体时，小立方体的数量不会改变
人们喜欢造些违反基本算术的说法，以便说明某种“更深刻的”真理。比如“1+1=1”（对恋人而言），或者“1+1+1=1”（三位一体）。很容易从上述说法里找出漏洞，比如，指出在上述两种情况中，为什么使用加号是不合适的。但这样的情况多得很。两滴雨水从窗户玻璃上流下来合成了一滴，1加1是不是等于1？一朵云彩分成两朵——还要更多类似的证据吗？
数作为一种“实在”是不守规矩的。然而，人们有一种古老的内在感觉，即数不应该不守规矩。在数的抽象概念中，就有那么一种纯净的东西，独立于数念珠、方言或云朵
欧几里德的证明是典型的所谓“真正的数学”。它简洁、优美且令人信服。它表明人们可以通过一些很简短的步骤从起点走出很远。
虽然每一个单个的推理步骤看起来是显然的，但最后的结果并不显然。我们永远不能直接地检查这个陈述是否是真的，然而我们相信它，因为我们相信推理。如果你接受推理，似乎就别无选择。一旦你同意听欧几里德把话讲完，你就得同意他的结论。这是件幸事——因为这意味着数学家对于把什么样的陈述标为“真的”，把什么样的标为“假的”，永远持一致意见。
在数学中，目的总是给予某个不那么显然的陈述一个滴水不漏的证明。存在有这种以滴水不漏的方式联系在一起的步骤，这一事实本身就暗示着可能存在一个具有模式的结构把这些陈述联在一起了。
欧几里德的证明是一个关于所有的数都有某种性质的证明，它却回避了分别讨论无穷多种情况中的每一个
虽然欧几里德的证明是一个关于所有的数都有某种性质的证明，它却回避了分别讨论无穷多种情况中的每一个
对于我们的头脑来说，把许多步骤压缩在一起形成单个句子是最为清晰的
我将说明一种把证明分成原子单位的方法，读者会看到它涉及了许多步骤，多得令人难以置信。即使这样，它或许也不应该让你太惊异。当欧几里德发明这个证明时，一定有几百万个神经元（神经细胞）参加了操作，其中有许多仅在一秒钟内就被激活了几百次。仅仅说出一个句子就要涉及成千上万个神经元。假如欧几里德的想法那么复杂的话，说它的证明包含了巨大数目的步骤就有意义了（他脑中神经元的活动与我们的形式系统里的一个证明可能没有什么直接联系。但是两者的复杂程度是可以相比的。这就好像是大自然想要使“素数有无穷多”这个证明的复杂性保持恒定，即使涉及到的系统相互之间极其不同）
想想简单的印符操作能把握概念，不免有点令人奇怪。
怎么能用印符操作来做这件事？
重要的是它很明显只涉及一些极简单的能力，它们远比区分素数与非素数的能力简单得多。
一旦你从你所操作的符号里找到“意义”，事情就会变得相当混乱。你不得不和你的自我作斗争，阻止自己把符号串“—”认作数目3。
我们对可识别的形状都有种自然直觉的观念
存在一些形式系统，它们没有用印符规则表述的判定过程。
然而正是形式系统的那种潜在复杂性，即它包含任意多的向前、向后的干扰，才导致了诸如哥德尔定理、图灵的停机问题、以及关于“并非所有递归可枚举集都是递归集”的事实等等这些限制性的结果。
巴赫的自然不用说了。你听过巴赫的曲子吧？那种美，那种技巧！我每次听他的曲子都有新的感受
有句拉丁格言，恐怕你也知道：口味无须争辩
如果一个唱机——就说是唱机X吧——有足够的高保真度，那么当它试图播放曲子“我不能在唱机X上播放”时，恰恰就引起了那种粉碎它自己的共振……所以它不是完备的。然而唯一能绕开这种打击的方法——即让唱机X是低保真的——却更直接地表明了它的不完备。
我第一次听它时，全然不知它会如何结尾。可突然，没有任何先兆，曲子戛然而止。然后……死一般的寂静。我立刻体会到巴赫就是在这儿死去的。
形式本身具有的可能性几乎是无限的！赋格里就充满了这种技巧。
当规则支配的符号与真实世界中的事物之间有个同构时，意义——至少在形式系统这种相对简单的语境里——是如何出现的
最明显的例子是人类的语言，人们常常把意义归于词本身，丝毫没有意识到使词具有意义的那个非常复杂的同构。这是个很容易犯的错误：把全部意义归于对象（即词），而非对象与真实世界的联结。这可以与一种朴素信念作个比较：认为任何两个物体的碰撞都必然附带有声音。这是个错误的信念。当两个物体在真空中相撞时，就不会有任何声音。道理是一样的。错误来自把声音完全归于碰撞，而未看到把声音从对象带给耳朵的媒介的作用。
因此我们要想继续把意义当作以同构为媒介的，我们就得对于同构能是什么采取更为灵活的看法，事实上在我看来，回答“什么是意识？”这一问题的关键之点，是揭示出作为意义基础的“同构”的实质
这篇对话既有显明的意义也有隐含的意义。最显明的意义无非是它所讲述的故事。严格地说，这个“显明的”意义是极度隐含的，因为面对白纸上的那些黑色印记，要理解故事中的事件，需要复杂得难以想象的大脑过程。尽管如此，我们还是把故事中的事件当作对话的显明意义，并假定每位读者都多少是用同样的“同构”从纸上的印记中抽取出这层意义的。
哥德尔定理很大程度上是依赖于数论的陈述有两个不同层次上的意义。
这会是由于巴赫达到了“自指”吗？
意义为什么以及怎样由同构来传送。
我们的新系统与外部世界是不一致的。
在上一章里用这种解释方法的时候，唯一的理由是这种解释使得符号操作同构于它们所对应的概念。
对怎样用语言来解释符号感到了意外，但看来似乎是一旦你掌握了其中的要领，学会这种技术并非难得不得了。事实上也的确不难。然而这却是整个十九世纪数学的最深刻的教训之一！
这种建构的艺术是另外一种类型，不同于——比如说——摩天大楼的建筑（见图21）。对于后者来说，能够矗立在那里，就足以证明它的各个结构要素是紧密组合起来的。但对于一本几何学的书来说，当其中的每个命题都声称是从前面的命题逻辑地推导出来时，若某个命题的证明是无效的，并不会显出整个建构会倒坍。这里横梁和立柱不是物质的，而是抽象的
在欧几里德的《几何原理》中，用来建构证明的东西是人类语言——一种充满隐患的复杂又难以捉摸的通讯媒介。那么，《几何原理》的建构聚合力是什么呢？能肯定它是由坚固的结构要素组合起来的吗？或者它也许有结构上的弱点
我们用的每个词对于我们都有某种意义，在我们使用这个词的时候引导我们。越是普通的词，我们由它引起的联想就越多，其意义也就扎得越深。所以，如果某人对一个普通的词下个定义，指望我们遵守这个定义，我们肯定不这么做。相反，我们会在很大程度上无意识地按照另一些东西的引导去做，那些东西是我们的心智在我们与这个词相关联的储备中所发现的。
你怎样才能给一个人人都已有了清晰概念的东西下定义？唯一的途径是假定你能清楚地表明你的词是当作术语的，不与同样拼写的日常用词相混淆。你必须得强调：与日常用词的联系仅仅是提示性的。
他使用那些日常用词的一个不可避免的后果就是那些词生出的一些意象潜入了他给出的证明。不过，如果你读《几何原理》中的证明，无论如何别指望发现推理中扎眼的“跳跃”。正相反，它们非常精细，因为欧几里德是个思想敏锐的人，在他那里不会出现任何头脑简单所导致的错误。
前二十八个命题属于所谓“四公设的几何学”——几何学中的一部分，可基于《几何原理》的前四条公设而导出，无需第五条公设的帮助
所有这些错误的证明都涉及到了日常直观与严格的形式化属性的混淆。
他有个抱负，要使欧几里德不带任何瑕疵
他决定试着从一个新颖的角度对那个著名的第五公设进行证明：假定你设定它的反面，然后以这样一条公设作为你的第五公设开始推演几何学……肯定不久之后你会制造出矛盾。因为没有任何数学系统能支持矛盾，你就表明了你自己的那个第五公设是不可靠的，于是表明了欧几里德的第五公设是可靠的。
你一定不要去探究平行公设。我深知这条路通向哪里。我曾横穿于这无尽的黑夜，湮灭了我生命中所有的光明与欢乐
我旅经了这地狱般的死海里的所有暗礁，总是帆破桅折地回来
当时机成熟时，那些东西在不同的地方出现，就像早春时的紫罗兰
理解非欧几何的线索是“率直对待”来自像萨彻利和兰伯特的几何学里的命题。只是当你没能摆脱先入为主的“直线”观念时，萨氏命题才“与直线的本质相抵触”。而若你能使自己摆脱那些先入的印象，只让“直线”是那种满足新命题的东西，那你就达到了一个崭新的视点。
符号借助它们在定理中扮演的角色而获得被动意义
人们可以以完全相同的方式让“点”、“线”等等的意义由它们出现于其中的定理（或命题）的集合来决定。这是非欧几何学发现者们的重大体会
这种对待“点”和“线”这些词的方法——即认为它们仅有的意义是那些它们出现于其中的命题灌注进去的——使我们向几何学的完全形式化前进了一步。
人们可以主张说未定义项的完整定义仅驻存于公设中，因为导出的命题已是隐含于公设中了。在这种观点下，公设隐含地定义了所有未定义项，
一致性不单是形式系统的性质，还依赖于为之提出的解释。
我们被迫或者看到一个疯狂的世界，或者看到一簇毫无意思的线条。相似的分析可用于艾舍尔的许多画，它们都大量地依赖于对某些基本形状的识别，然后再以非标准的方式组合在一起。到观众在高层上看出悖谬的时候，就已经太晚了——他无法再回去，对怎样解释较低层次的对象改换想法
或甚至逻辑也是可疑的：是否有那种世界：矛盾是存在的正常组成部分——矛盾在那里不是矛盾？
如果我们想要有所交流，看来就得采纳某种共同基础，而逻辑几乎总是得包括进来的。
禅宗就是以同等的热情拥抱矛盾和非矛盾的。这似乎不太一致，但不一致也是禅宗的一部分
一致性是说：“系统产生的每个东西都是真的”，完全性是倒过来：“每个真陈述都是由系统产生的”
不能满足元愿望。
是这样……如果我是个元不可知论者，我就会为我是否是一个不可知论者而困惑
因为批准这个无类型愿望，就是否定了它——而不批准它，就是批准了它。
堕界：没有打出来的嗝和已熄灭的灯光所在的地方。
阿基里斯：这就是为什么我在一支曲子结束时总是感到那么满足，就像我全身心都在等待着听到那个主调音似的，是吗？乌龟：没错儿。作曲家运用他的和声进行来控制你的感情，使你产生渴望听到主调音的愿望。阿基里斯：可是你该给我讲讲转调。
阿基里斯：龟兄——你也掉进来了！你怎么样？乌龟：只是伤着了我的自尊心，不过还好。
有时递归似乎与悖论很接近，例如递归定义。这样的定义可能会给粗心的人一种印象，即事物自己定义自己。那就会出现绕圈子了，而且即使不导致悖论，也会导致无穷回归。但事实上，一种递归定义（当正确给出时）永远不会导致无穷回归或悖论。这是因为递归定义从来不以某一事物自身来定义这一事物，而总是用比其自身简单一些的说法来定义这个事物。
紧张和解决是音乐的核心，
我们在语言上的心理堆栈能力也许稍强一点。所有语言的语法结构都涉及建立一个非常精细的下推栈，虽然，可以肯定，随着推进堆栈的次数的增加，理解一个句子的难度也急剧增大
区分开递归定义与循环定义的关键事实，是前者总会“终了”。定义中总是有某一部分避免了自指，因而构造一个满足该定义的对象的过程最后总会“终了”
说谎者悖论的两步形式。
一条线索定义递归，另一条定义“基底”（也就是最开始的值）
假如粒子不相互作用，那么一切都将是难以置信地简单。物理学家会喜欢这样的世界，因为这样一来，他们就可以很容易地计算出所有粒子的行为（这种世界里是否还有物理学家是可怀疑的）
当相互作用的“开关”被“打开”时，粒子就像函数F和M、或者说两个结了婚的人那样纠缠在一起
幸运的是，一个图案越是复杂，它的贡献也就越不重要。
一条鱼的DNA（存在于这条鱼的每个细胞中）的确是整个这条鱼的一个极其复杂的“副本
递归是以不同层次上同时出现的“同一”的事物为基础的。
“子程序”或“过程”，对之我们已略有讨论。其基本思想是把一组操作集在一起，起个名字，当做一个整体——例如花哨名词过程
这是程序设计中模块化的实质所在。
RTN配备了参数等设施后，就能对通道的选择进行控制了
检验一步棋是不是好棋的办法就是：假设你已走了这步棋，然后从你对手的角度来审视棋盘上的局面
侯世达定律：做事所花费的时间总是比你预期的要长，即使你的预期中考虑了侯世达定律。
但这恰恰就是递归的实质——定义一个东西时，使用它自己的较为简单些的版本，而非直截了当地给出它的定义
每个新的元素都是由已有的元素复合而成，
复杂到一定程度的递归系统，其能力可能会强有力得足够打破任何事先规定下来的模式。
俳句是一种由十七个音节组成的日本诗——更确切地说是种微型诗。也许它就像馥郁芳香的玫瑰花瓣或蒙蒙细雨中的百合塘一样容易叫人产生联想。它通常由五个音节、七个音节、再五个音节这样三部分组成。
意义是一条消息所固有的，还是在心灵或机器与一条消息的相互作用中产生的
在槽纹模式和声音之间有一个同构，而唱机是一种以物理方式实现这一同构的机械。这样，可以很自然地把唱片想象成“信息携带者”，而把唱机想象成“信息揭示者”。
这又进一步意味着那些指令一定是以某种方式编码于DNA的结构之中的
人们似乎被迫接受这样的想法：DNA的结构包含了表现型结构的信息，这就是说二者是同构的
而且实际上完成这一同构的机制复杂得吓人。比如，如果你非要在你的DNA中找出哪一段是关于你鼻子形状或指纹形状的，你的日子一定不会好过
破译遗传密码可以类比于弄清某种外语的字母表中各字母的音标，而不包括弄清楚那种语言的语法或单词的意义。
卡奇的观点用他自己的话来说，就是“让音响只代表它们自身，而不是作为表达人造理论或人类情感的工具”
在巴赫的音乐中似乎有大量可以凭借的东西——模式、模式的模式，
我们在这里要讨论的，不是巴赫的音乐是否具有足够的内在逻辑，而是任何消息是否本质上都具有足够的内在逻辑，一旦遇到具有充分高智能的生物，其环境总能自动地建立起来
当发现解码规则需要这样巨大的努力的时候，意义还在多大程度上是材料所固有的呢？
理解内在消息就是抽取出发送人所要传递的意义
当我在思索意义是怎样隐藏在这些美丽的非周期性晶体结构的奇妙曲线与折角之中时，我深深地沉浸在一种神秘的气氛里。形式里就存在着内容。
如果不同的人的“自动唱机”里的“歌曲”是不同的，而且它们都以各自不同的方式反应于给定的触发信号，那么我们就不会倾向于把意义作为触发信号所固有的东西
人们用来交流框架消息和外在消息的“语言”只不过是智能生物彼此之间进行通讯的那种通用语言的一种“方言”而已。
我们可以把一条消息的意义（框架的、外在的、内在的）归因于消息自身，因为事实上释读机制本身是具有普遍性的——这就是说，它们是自然界的基本形式，以同样的方式产生于形形色色的环境之中
如果我们与其它星系的外星人建立了联系，那就会支持我们的这种信念：我们所具有的这种智慧不仅仅是一种侥幸，而是反复再现于自然界的各种环境中的一种基本形态之中的一例，就像星星和铀原子核一样。这反过来又会支持意义是一种固有属性的观点。
要欣赏巴赫的曲子就远不需要那样多的文化知识。这真像是一种极大的讽剌，因为巴赫是如此复杂而又有条理，卡奇则是极端地缺乏理智。但这里出现了一个奇怪的颠倒：智能喜爱模式化，厌恶随机性。
这些关于不同因素的“可容忍的复杂程度”，很可能很大程度上依赖于我们人类物种进化的某些特定条件，而其他智慧生物所发展的音乐，在这些因素的可容忍复杂程度上，可能会与我们完全不同
现在你手中这本书所包含的信息量差不多等于描写一个渺小的大肠杆菌细胞的结构的信息量。
请想一下下面这个当今在某些国家高度敏感的问题：到底在哪个时刻才能说遗传型已经“达到”或“隐含”了表现型？这也就是堕胎的合法性问题。
你先是说（1）：你的壳是绿的，而接着你又说（2）：你的壳不是绿的。这还有什么可说的？乌龟：请把矛盾指出来。别旁敲侧击。
我简直弄不清我们是在辩论一些无聊至极的东西，还是在辩论某种深刻奥妙的东西！
明明是个不折不扣的害人诡计，想诱使一个可怜的、走路摇摇晃晃的清白的乌龟陷入致命的矛盾！
从x到y所得的每一样东西（包括x和y在内）都是幻想，x是幻想的前提，而y是幻想的结果。下一步是从幻想中跳出来，这时，我们可以肯定的是
在电影院里“请勿吸烟”的牌子，对电影里的人物是不适用的
分离规则：如果x和＜x→y＞二者都是定理，那么y是一个定理
而幻想规则常常被称为“演绎定理”
这种无政府主义的自由是不被容忍的
这个系统——命题演算——是一步步很干净地从真走到真，仔细地回避所有的假
给人印象深刻的东西是——在命题演算中——所有的事情是纯粹“符号地”做出来的。没有谁置身其中成为“里边的人”，去考虑这些串的意义。它做起来完全是机械的，不经思考的，硬性规定的，甚至是傻乎乎的。
而这使得宇宙里核心的真理看得更清楚了：它们不仅是基本的，而且是有规律的：它们能用一组印符规则产生出来。换句话说，它们全是“用同样的布裁出来的”
但前提是你希望把“～”解释成“非”。但是你凭什么认为“～”一定就解释为“非”呢？
换句话说，你相信规则抓住了这些词的意义了？
无法永远维护你的推理模式。到了一定的地步，就只有靠信仰了。
一个人永远也不能给出一个最终的、绝对的证明，去阐明在某个系统中的一个证明是正确的。当然，一个人可以给出一个关于一个证明的证明，或者关于一个证明的证明的证明——但是，最外层的系统的有效性总还是一个未经证明的假设，是凭我们的信仰来接受的。
一条导出规则。它是我们所具有的关于该系统的那些知识的一部分
甚至还可能有人提出：一个推理理论可以与它自己的元理论是同样的，只要它是仔细地做出来的。
我们将把牢这个最简单的思想——不把各种层次混同在一起。
下面这样做是一种危险的做法，即，去假设符号能够在不同的层次之间随便滑来滑去——这里，这不同的层次就是形式系统的语言与它的元语言（汉语）
现在，你已经看到了带有如下目的的系统的一个例子——描述逻辑思想体系的一部分。这个系统所处理的概念是为数很少的，它们都是非常简单、非常精确的概念。但是命题演算的这种简单性和精确性恰恰正合数学家们的心意。这样说有两个理由。（1）可以对它本身的一些性质进行研究，正像几何学研究简单的、固定的图形一样。在它上面还能够造一些变种，采用不同的符号、不同的推理规则、不同的公理或者公理图式
关于在精美的形式系统中进行命题推理的各种方式的研究，是纯数学的一个吸引人的分支。
任何一种简单性都会带来一种特殊类型的复杂性。对于证明，是它们赖以依靠的背景系统——即，人的语言——的复杂性；对推导来说，这是它们的天文规模，这使得它们几乎是不可能把握得住的。
命题演算应被当作是综合人工证明之类的结构的一般方法的一部分。
“从一个矛盾出发，结果可以是任何东西”！所以，在以命题演算为基础的系统里，是不能包含有矛盾的。它们对整个系统的影响，就像是一个瞬时会扩散开的癌。
这听上去不太像人的思维。如果你在你自己的思维中找到了一个矛盾，不太可能你整个的心智都被摧毁了。相反，你也许会开始对你觉得是导致了矛盾思维的那些信仰或推理方式产生疑问。换句话说，就你所能做到的程度，你会走出你所在的那些你觉得是对矛盾负有责任的系统，并试图去修理它们。
在过去的年代里，发现了数学里的一个矛盾，数学家们会立即致力于认定系统对此负有责任，跳出它之外，去探究它，并且去修正它。对矛盾的发现和修正是加强了而不是削弱了数学。
在中世纪，无穷级数 1-1+1-1+1-…… 的值引起了热烈的争论。它被“证明了”等于0，1，1/2，并且可能还有其他的值。
这曾经是许多逻辑学家烦恼的一个根源，大量创造性的努力被用来从事于尝试修补命题演算，以使得它不会如此犯傻和顽固地行动。
一些更为过激的尝试完全抛弃了对完全性或一致性的寻求，而试图去模仿人的带有不一致性的推理。这样的研究不再以提供给数学一个坚实的支持为目标，而是纯粹去研究人的思维过程
螃蟹描述了一个生物学的结构，也是具有同样的性质。
一个形式系统——印符数论，也就是把数论表示在印刷符号中。这个系统简称为TNT，这一方面是因为英文的“印符数论”是Typographical Number Theory，而另一方面是因为这个形式系统能释放出很强的能量。哥德尔的构造就不仅要依靠对这个形式系统中串的内容所作的描述，还要依靠对这些串的形式所作的描述。一个意想不到的回旋是：由于哥德尔所发现的奇妙的映射，串的形式能在这个形式系统自身里面描述。
在你心里始终要区别开我们的形式系统（TNT），和那个比较起来规定得不是那么明确，然而却是令人感到舒适的古老的数学分支，即数论本身。后者我将称之为“N”。
现在看起来，似乎对每一个诸如“是素数”或“是立方数”或“正的”这样的概念，我们都需要有一个符号——但是这些概念其实并非最基本的。例如，素数性是与一个数所具有的因子有关的，而这些因子又与乘法有关。立方性同样要通过乘法来定义。那么，就让我们来重新叙述一下这些句子，这回用那些看起来更为初等的概念。
我们将不是对每一个自然数都赋予一个不同的符号
符号S有一个解释——是它后面的那个东西“的后继”。因此，SS0的解释按字面上就是“零的后继的后继”。这种形式的串被称为数字
显然，我们需要有一个方法来表示那些非指定的数——或者说可变的数
从某种角度来说，用字母表的前五个字母多少是种奢侈，因为我们本可以只用a和撇号就行了。后面，我将真的不用b、c、d和e，结果将得到TNT的一种“简朴的”版本——此处所谓的“简朴”是说读懂复杂的公式变得较难了
它的解释是“b加1等于2”。由于b是未指定的，没有办法为这个陈述指派一个真值。它像一个含有代词的脱离了上下文的语句，例如“她很笨拙”。它既不真也不假，它等着读者把它放进一个上下文中去。正因为它既不真也不假，这样的公式就被称为开公式，而变元b则称为自由变元。
在量词管辖之下的变元称为一个量化变元
至少带一个自由变元的公式——开公式——翻译成自然语言后就称为谓词。它是一个不带主语的句子（或者是这样的句子，它的主语是一个脱离上下文的代词）
这个系统要像一个筛子一样，只能通过那些带有特殊样式——“真理样式”——的制品
用来区分真陈述集合与假陈述集合的界线（用TNT记法写成）绝不是笔直的；这个分界线有着许多莫测的弯曲
如何印符地刻划所有对应于真理的串。
公理1陈述了有关数0的一个特殊事实；公理2和3是关于加法的性质的；公理4和5是关于乘法的性质的，并且特别涉及到与加法的关系。
“零不是任何自然数的后继”——是自然数的五条著名的性质之一，这些性质是由数学家和逻辑学家朱·皮亚诺于1889年首次明确认定的。
造物神造出了自然数，其余的一切都是人的事。
皮亚诺希望他加在概念“怪物”、“神怪”以及“元”上的五条限制是如此之强，以至于如果两个不同的人在心里对这些概念形成意象，这两个意象会有完全同构的结构。
皮亚诺希望把自然数的本质纳入到他的五条公设之中。数学家们一般都承认他成功了，
你必须遵循规则，而不是你关于符号的被动意义的知识。当然，后一种知识在指引一个推导该走什么路线时是极有价值的。
一个系统是ω不完全的，如果在一个金字塔中的所有串都是定理，而全称量化的概述串却不是一个定理
但一个给定的系统中的不可判定性是没有什么神秘的。它仅仅是该系统还能够扩充的一个标志。举例来说，在绝对几何学里，欧几里德的第五条公设是不可判定的。它必须作为一条特别的几何公设加进来，从而导致欧几里德几何学；或者相反，它的否定是能够加进来的，从而导致非欧几里德几何学
然而，两千年来，使用先入为主的词“点”和“线”则使人相信那些词必须是单值的，只能有一个意义。
我们曾沿用的记号使我们带上了某些成见
数学家对紧张的认识是和他对美的认识密切相关的，并且正是这种东西使得数学值得花力气去做。
TNT并没有将紧张和解决、目标和子目标、“自然性”和“被迫性”等概念形式化，正像一首乐曲并不是一本讲和声和节拍的书一样。人们能不能发明出更为奇妙的印符系统，以感知推导中的紧张与目标呢？
它和《数学原理》的系统有同样的能力。用TNT，人们可以证明在一篇标准的关于数论的专门论文中所能找到的每一个定理。
在进行了彻底形式化之后，唯一可行的道路就是放松形式化原则。否则，形式系统会过于庞大而笨重，以至于对任何实际的目的而言都是毫无用处的。
如果X为真，完全性就说，x是一个定理；反过来，如果非X为真，那么完全性就说，～x是一个定理。因此，x和～x二者必有一个是定理
任何一个强得足以证明TNT的一致性的系统起码与TNT本身一样强。从而，转圈子是不可避免的。
就比如蛋白质的折叠吧，这在DNA中是编了码的，但是这种折叠的蛋白质能转过来处理甚至破坏掉产生它们的DNA。
他诲谕我说真如即一，具有不变异性，森罗万象及动迁变化皆是感官的幻觉。
师傅说禅宗信徒要寻求顿悟——就是一种“无我”状态。在这种状态下，人不再念及世界——人只是存在着。他不可以“执”于任何客体、思想或人——
既然禅宗是反理性的，对它进行理性的思考和缜密的研究还有意义吗？
公案是有关禅宗师徒的故事。有时它像个谜语，也有时像逸事，还有时什么也不像
依我之见，要切近禅宗，乐闻公案不知倦，胜读禅宗万卷书。那些讨论禅宗的专著满篇充斥着哲学行话，真没劲。
有时某些事情从一种角度看很复杂，而从另一个角度看却很简单
通过变换你的观察方式，你就把同一信息重新编排了。
也许那些了解顿悟三昧的人会返归于顿悟前的状态。我总是认为“顿悟两次即是没顿悟”
毫无意义？这不正是公案的别名吗？阿基里斯：你显然还不具备真正的禅宗精神。
并不总是——有时你得到些毫无意义的音节，又有时你得到些不合语法的句子。不过偶尔也能得到类似公案的东西。
对我来说，禅宗是智力流沙——晦涩、无意义、紊乱、无法无天。它撩人而又令人恼火。
佛教禅宗的基本教条之一是：没有任何办法能刻划禅宗是什么
公案是当作“触发器”的，它们自己并不含有足够的信息以得到顿悟，但它们可能足以解开人们心智中导致顿悟的机制。不过一般说来，禅宗的观点认为词语与真理是不相容的，或至少是词语不能捕捉到真理。
这首诗是自指的，因此它不仅评论了南泉所说的话，也阐明了自身的无效性。这种悖论是禅宗的一大特点。它是“破坏逻辑头脑”的一种尝试。
如果有什么公案使人困惑，这就是一个。而且很可能它的目的恰恰就在于引起困惑，因为人的心智处于困惑状态时就会在某种程度上不合逻辑地运转。只有跨出逻辑，摆脱理论，人才能跃入顿悟境地。可是逻辑到底怎么不好了？为什么它会阻止人们达到顿悟？
反对使用词语的最有力的工具之一就是公案，其中词被如此彻底地误用，以至那些认真看待公案的人会晕头转向，理不清自己的神智。
一旦你感知到一个客体，你就把它与世界的其余部分划分开了；你人为地把世界分成部分，你于是就远离了“道”
词语把我们引向某些真理——或许，同样也引向某些虚假——但肯定不能引向所有真理。你若是依赖词语走向真理，那就如同依赖一个不完全的形式系统而走向真理。
数学家们的困窘就在于：除了形式系统，还有什么可以依靠？而禅宗信徒的困窘则是：除了词语，还有什么可以依靠？
这多少让人想起那个治嗝偏方：“绕着大树跑三圈，脑子里始终不想‘乌鸦’这个词。”
顿悟状态意味着自我和宇宙之间的分界消解了
它漂浮在堕界中，与没打出的嗝在一起，与没人读的故事中的人物在一起
禅宗认识到了自身的局限，正如数学家们逐渐也认识到了公理化方法作为获得真理的方法其局限所在。
六个等长音符会造成节奏岐义——是两个一组的三组，还是三个一组的两组？
球与球之间彼此反映，同时也反映出写字台，并反映出这幅画本身以及正在作画的艺术家。所有的事物彼此之间都有着无尽的联结
如哑子得梦只许自知
就像一个人前半生一直通晓乐谱，但只是用眼睛看而已——然后，忽然有一天，有人告诉了他声音与乐谱之间的映射。那将是怎样一个崭新而又丰富的世界！在这里，就好像一个人前半生一直都熟知符号串的样子，但只是那些串的形状而已，从不知意义何在——然后，忽然有一天，有人告诉了他事物与串之间的映射。这是怎样的一种启迪！哥德尔配数的发现被人们比作笛卡尔关于平面曲线与二元方程之间同构的那个发现：一旦你见到了，真是令人难以置信地简单——而一个崭新宽广的世界就这么展开了。
你会发现这些规则的设计是基于一个并不深奥的思想：整数的十进制表示中那些数码的左右移动是与乘以或除以10的方幂相关联的。
若有一条印符规则，它在任一十进制表示的数中移动、改变、删除或插入数码，那么这条规则可同样由一条算术规则来替代，后者包括对10的方幂的算术运算以及加、减等运算。
用于数字的印符规则实际上等同于用于数的算术规则。这一简单的结论是哥德尔方法的核心，其后果是震撼人心的。
结果就是，我们可以把对任一形式系统的研究——事实上即对所有形式系统的研究——转成数论工作。
像“WU是个定理”这样的陈述可以通过哥德尔同构编码成一个数论问题。
有一种观点认为，一则编了码的消息与未编码的消息的不同之处在于：前者仅有其自身还不能表示什么——还需要有关编码的知识。现在我们可以来反驳这种观点了。事实上，在现实中不存在什么未编码的消息。只有用较熟悉的编码编的消息和用不太熟悉的编码编的消息。若要显露一则消息的意义，就必须用某种机制或同构从编成的编码中把它抽出来
当编码足够熟悉的时候，它就不显得像编码了，人们于是也就忘了有一个解码机制存在
我们对TNT符号的偏见如此之深，只看到TNT符号串中的数论意义（并且仅仅是数论意义），以至于很难接受某些TNT符号串是关于WJU系统的陈述
意义是我们在辨认出同构时自动出现的副产品。
每个TNT符号都与由1、2、3和6组成的一个三位数配对，配对原则只为有助记忆。
插入和移动十进制表示的数中的数字是种算术的操作，同时也是可以印符地完成的。正如在尾部拼上一个0完全等同于乘以10，
但声音的产生就会有作用——这不可避免——而这副作用转回来恰恰就作用于产生它们的机制。这不是碰巧，这是逃脱不掉的副作用。这是由唱机的本质所决定的。因而，是数论的形式化的本质导致其元语言嵌在其自身中。
因为我一直觉得数论是数学的王后——数学中最纯的分支——数学中没有应用的一个分支！
这很像一个人的大脑所做的事：当另一个人的声带发出某种声音后，这个人的耳鼓将振动传送到耳涡中的神经纤维，他的大脑就据此恢复出那种声音
那沉默构成的短暂插曲总让我激动不已，而我总是在那一段间歇里揣度老巴赫下面的意图
由于熟悉而消失了。任何激动不都是这样吗？不过在这种熟悉里面包含着深度，算是对消失了的激动的一种补偿。比方说，我发现总有我以前没注意到的东西。
那种激动的潜在的复苏以某种未知的方式“编了码”，我无法随意唤醒它，必须等着偶然的环境来触发
能在不同的层次上被理解。
我们都知道人体是由大量的细胞所组成（大约有二十五万亿个），因此我们所做的一切原则上都能在细胞水平上被描述
我们可以一边读着关于DNA和“遗传工程”的文章，一边呷着咖啡。我们似乎调和了这样一些关于我们自身的极不相同的图像，其实我们只不过是不把它们联系在一起
在看电视的时候，屏幕上一连串画面显示着卓别林在跑来跑去，这时，我们知道事实上我们看到的不是一个人，而是平面上闪烁的一片光点。我们知道这一点，但这是埋藏在思想深处的
工智能研究中的一个重大问题，就是要指出如何跨越这两种描述间的鸿沟，即如何构造一个系统，使它可以接收一个层次上的描述，然后从中生成另一个层次上的描述
在正常的对局过程中，会有某种多次再现的局面——也就是某种模式——而大师正是对这种高层次的模式十分敏感。
在观察局势时他实际上看不见坏棋——正像业余棋手在观察局势时看不见不合规则的棋步一样。任何懂一点棋术的人都已经对他的感知进行了组织，斜着走车、象走日字这样的着法不会出现在脑子里。类似地，大师级的棋手在观察棋局时已经建立了更高层次的组织，因此对他们来说，坏棋一般不会被想出来，就像对大多数人来说不合规则的棋不会被想出来一样。
一个有才华的数学家往往不像庸才们所做的那样，考虑并尝试所有的错误途径，以达到所需的定理。相反，他一下就“嗅出”了有希望的途径，然后立即进行下去。
仅仅依赖于超前搜索的计算机下棋程序还没有被教会在一个更高的层次上思考，它的战略只是凭一股蛮劲进行超前搜索，企图压倒各种类型的对手。
我们是由许多层次构成的，同时我们用重叠的语言在所有这些层次上描述我们自己。
当一个计算机程序在运行的时候，可以在若干个层次上观察它。在每一层上，描述都是用计算机科学的语言给出的，这使得所有这些描述都多多少少地彼此相似——然而不同的层次上得到的见解仍然极其不同。在最低层，描述会复杂得就像对电视屏幕上光点的描述一样。但就某些目的而言，这是最重要的视角。在最高层，描述极大程度地组块化，给人一种完全不同的感觉
“组块化”的想法把一组对象当作一个“块”后，可以把它们看成一个单位。其边界有点像细胞膜或国境线：它使得其内部的那一组对象构成一个独立的单位。根据不同的需要，可以考虑组块的内部结构，也可以不考虑。
首先我们来谈谈存储器。存储器被分为若干称为“字”的物理上分离的单元。为了描述得具体一些，我们假设存储器共有65536个字（这是个特殊的数，2的16次方）。一个字可以进一步分为我们当作计算机科学的原子的东西——“位”
从物理上看，一个位不过是一种磁性“开关”，它可以处于两种状态。你不妨把这两种状态称为“开”和“关”，或“X”和“O”，或“1”和“0”……
有时这36位确实是表示了一个二进制数。另一些时候它们也可能是表示一个电视屏幕上的36个点，或文章中的一个词。存储器中的一个字应当如何理解，这完全取决于这个字在程序中所扮演的角色。
有一种对于字的解释我还没有提到，这就是“指令”。存储器中的字里面不仅可以放被处理的数据，还可以放一些作用于数据之上的程序。
一个字的一部分，通常是前面的几位，可以被解释成要被执行的指令类型的名字。一个解释成指令的字的其余部分代表什么呢？最常见的是，它们说明要对存储器中的哪些字进行作用。换句话说，剩下的位构成了一个指向存储器中其它字的“指针”。
CPU把那个字从存储器中提取出来，通过电子手段把它复制到属于CPU自身的一个特殊的字中（CPU中的字通常不叫“字”，而叫“寄存器”）
上面所说的只是“机器语言”的一个粗略框架。在这种语言中，所能执行的操作类型构成了一个不可扩展的有限集合
再想象一下为一个微小的病毒（更不要说为人了！）一个原子一个原子地写出DNA——你就会体会到，用机器语言写一个复杂的程序是什么滋味
在计算机刚出现的时候，程序设计是在比机器语言更低的层次上（还有更低的层次！）完成的——即把导线彼此联接，因此恰当的操作都是通过“硬性联接”而实现的
但毫无疑问，初次进行这种尝试的人们一定和现代计算机的先驱者们一样曾经感到非常振奋
汇编语言的设计思想是要把各个机器语言的指令“组块化”，因此当你要用一条指令把一个数加到另一个数之上时，不必再写一个若干位组成的串“010111000”，而只写ADD（加）就行，然后也不必以二进制表示的形式给出地址，而是用一个“名字”指示存储器中的字。
硬件是被设计来“理解”机器语言写出的程序——即位序列——而不是面向字母和十进制数字的。
如果你说是机器语言写出的程序在运行，那是绝不会错的，因为任何程序的运行都必须通过硬件
靠计算机自己把程序从高层次翻译到低层次，这个强有力的想法在层次体系的更上一层得到了进一步贯彻
人们用汇编语言编了几年程序之后，就认识到了一些有特点的结构往往反复出现在各种程序中。正像下棋一样，似乎存在某些基本的“定势”
所谓“算法”是指人们对所要完成的操作过程的精确描述。
对任何程序设计语言的一个强有力的扩充就是赋予它们下述能力：用已知的实体定义新的高层实体，然后用名字调用它们
基于这种想法的新语言被称为“编译语言”。其中一种很早也很漂亮的叫做“Algol”，是“算法语言”的英文缩写。和汇编语言的情况不同，在Algol的语句和机器语言的指令之间不再有直接的一一对应。无疑，仍然有一种从Algol到机器语言的映射关系，但这要比汇编语言和机器语言间的关系“杂乱”得多。
解释程序也能把高级语言翻译成机器语言，但不是先把全部语句翻译完，然后执行机器代码，而是读一行然后立即执行它。这样做的优点是，使用者不必等写完一个程序后再使用解释程序。
如果把编译程序比作书面发言翻译，那么解释程序就可以被比作同声翻译
编译程序先接收输入（如一个写好的Algol程序），然后产生输出（一个长长的机器语言指令序列）。至此，编译程序的任务就完成了，其输出就交给计算机去运行。与此相反，解释程序在程序员一条条地输入Lisp语句时一直在运行，每条语句马上被“就地执行”。
有时不妨把Lisp语句只看成一条条的数据，它们被连续地送入一个不停地运行的机器语言程序（即Lisp解释程序）
编译程序自身也是个程序，也必须用某种语言来书写。第一个编译程序是用汇编语言来书写的，而不是用机器语言，这样就可以充分利用已经建立在机器语言之上的初步成果。
一旦编译程序的核心部分写成了，这个小编译程序就能把一个大一点的编译程序译成机器语言——依此办理就能翻译一个更大的编译程序，直到最后得出整个所期望的编译程序。这个过程有个形象生动的名字：“自举”——其缘由是显然的（想象一个抓住鞋带想把自己举起来的人就行了）。这有点像一个刚刚能顺利地使用自己母语的幼儿，从那时开始，他的词汇量和流畅程度将飞速增长，因为他可以利用语言来取得新的语言。
编译语言一般说来并不反映运行由它所写出的程序的机器结构。这是它优于高度专门化的汇编语言和机器语言的主要特点之一。当然，在一个用编译语言书写的程序被翻译成机器语言之后，得到什么样的程序是依赖于具体机器的。
程序正常运行时，你怎么描述它或想象它的活动都没有太大关系。只有在出了毛病时，能够在不同的层次上思考才变得重要起来。
操作系统本身是个程序，其功能是防止用户直接使用“裸机”（这就为系统提供了保护），并且使程序员摆脱许多非常琐碎繁杂的问题，如读入程序、调用翻译程序、运行翻译后的程序、把输出在适当的时候引向适当的通道、把控制权转交给下一个用户等等。
实际上，在大脑中一定也发生着某种类似的事件：同时控制多种刺激；决定哪一种优先于其它种，优先权保持多久；紧急情况和偶发事件造成的突然“中断”，如此等等。
一个飞机乘客通常不想了解油箱里还有多少燃料、风速是多少、需要准备多少份饭、目的地附近的空中交通情况如何——这些事情已被交给航空公司系统中处于不同层次的工作人员来处理，而乘客只要求从一处到达另一处。同样，只有当出了什么毛病——比如他的行李没到，乘客才会意识到他以前不知道的那个使人迷乱的层次系统。
事实上人际通讯中的约束远不像在人机通讯中那样刻板。例如，在寻找最好的表达方式时，我们常常说出无意义的句子片段：我们可能在说一句话的中间咳嗽；我们彼此打断对方的话；我们使用模棱两可的描述和“不规范”的句型；我们杜撰词组、歪曲意义——但我们的大部分信息一般仍能传递过去。用程序设计语言，一般说来是有着非常严格的句法的，你必须每时每刻遵守，而且没有模棱两可的词或结构。
说它从来没听说过什么“INSIHGT”
一旦你停下来想一下大多数人用计算机做什么，你将发现是要完成一些非常确定并精密的工作，这些工作太复杂，不适合由人来完成。如果计算机想要成为可靠的，那么它应当不带一点模棱两可地理解人希望它做的是什么。而且它必须既不多也不少地按照明确指示给它的去做。
对于那种“有弹性”的语言，可能出现的情况大概有两种：（1）用户了解构造在语言及其解释程序中的灵活性；（2）用户不了解这些灵活性。在前一种情况下，用户仍然可以用这种语言来精确地表达他的程序，因为他能预测计算机将怎样解释他用这种语言写的程序。在后一种情况下，解释过程具有一些隐蔽的特性，使得某些事件成为不可预测的
我们希望在可靠性和灵活性之间走钢丝
任何可以用上述语言之一书写的程序，在原则上也能用更低层的语言来编制，但那需要人付出较大的努力，而且编出来的程序可能长得使人无法把握。每个较高的层次都没有扩展计算机的潜能，计算机的全部潜能已经存在于其机器语言指令集之中了。高层次语言中的新概念只不过是用它们的性质提示了一些方向和前景。
所有可能的程序所组成的“空间”是如此巨大，以致于没人能知道哪些东西是可能的。每种高层次语言都自然地适用于探索“程序空间”的某些特定区域，因此程序员在使用那种语言时，就被引入了程序空间的那些区域。
这显示了一个记号系统会对最终产品产生相当大的影响。
使用不同的语言编程序就像使用不同的调式作曲，尤其是如果你是在钢琴键盘上作曲，那就更像了。
他们那个问题就像是问一个人：“你今天为什么制造了这样少的红血球？”人们不了解他们身体的那个层次——所谓“操作系统层次”
这种层次混淆的主要原因是，人和计算机系统的所有层次之间的通讯都是在同一个终端的同一个屏幕上进行的。
所有这些灵活性都必须有个“终了”。在所有灵活性的下面必须是一个硬件层，而它是没有灵活性的。它可以藏得很深，上面的各个层次又提供了大量的灵活性，以致于没有多少用户能感到硬件的限制——但这种限制的存在是不可避免的。
我喜欢把软件想象成“你可以通过电话线传送的任何东西”
同时追寻所有分子的运动大概是一种对天气的非常低层次的“理解”方式，这很像在机器语言层观察一个巨大而又复杂的程序
但我们仍能用一些人类特有的方式来观察和描述天气现象。我们关于天气的组块化观点是基于层次很高的现象的，如雨、雾、雪、飓风、冷锋、季节、气压、信风、急流、积雨云、雷暴、逆温层等等。所有这些现象中涉及到的分子数量都达到了天文数字，它们以某种方式协同动作，造成了大尺度的天气趋势。这有点像读用高级语言描述的天气。
我们只须考察一下“硬科学”当中最硬的一个——物理学
一个“系统”是一组相互作用的“成分”
在某种微弱的程度上可以说，这些队员在成为一个更大的系统（即球队）的一部分时，他们自身的个性已经有所改变。
超导就是指在极低的温度下，电子可以在某些固体中无阻抗地流动。
这里我们就有若干个层次的粒子：库珀对自身、构成它的两个自旋方向相反的极化子、构成极化子的电子和声子，然后，在电子内部，还有虚拟的光子和正电子，如此等等。我们可以观察某个层次，看到在那里出现的现象，而这些现象可以通过对下面几个层次的理解而得到解释
类似地，同时也是幸运地，人们不必了解关于夸克的全部情况，仍能对那些大概是由它们构成的粒子进行深入的理解。这样，一个核物理学家可以使用基于质子和中子的理论
核物理学家有一幅关于质子和中子的组块化图像——一个从低层理论中推导出的描述，但这并不需要了解低层理论。
一个原子物理学家有一幅从原子核理论中推导出的关于原子核的组块化图像。然后一个化学家有一幅关于电子及其轨道的组块化图像，并且构造了关于小分子的理论。这一理论可以以组块化的形式被分子生物学家所接收，他们有关于小分子如何挂在一起的直觉，但其技术专长是在超大分子及其相互作用的领域之中。然后细胞生物学家又有一幅组块化的图像，其中的基本单位是分子生物学家所思考的，而细胞生物学家只是设法用这些基本单位说明细胞相互作用的方式。
这使我们想起潜水艇建造水密舱的方式：如果一个部分损坏了，水会涌进来，但只要关闭舱门，损坏的舱室就被隔离开了，这样可以防止乱子的蔓延。
在科学的层次结构中，层次间总是有些“渗漏”的，因此化学家无法完全不考虑低层的物理学，生物学家也无法完全不考虑化学，但是，两个相距较远的层次间几乎是没有渗漏的。这就解释了为什么人们可以直觉地理解别人，而无须懂得夸克模型、原子核结构、电子轨道的性质、化学键、蛋白质构造、细胞中的细胞器、细胞间的通讯方式、人体各种器官的生理学、或器官间复杂的相互作用。
组块化模型可能有个很大的缺点：它通常不具有精确的预测力
在使用组块化的高层模型时，我们为简单性牺牲了确定性
一个组块化模型是：定义一个“空间”，并预期着行为会落入其中，而且描述了行为落在该空间的不同区域的概率。
你编程序的语言层次越高，你越无法精确地知道你让计算机所干的事！
在你思考和编程序的层次上，你的语句可能更类似于陈述句和建议，而不太类似于祈使句和命令。一般说来，一个高层语句的输入所诱发的内部过程对你来说是不可见的，正好像在吃饭的时候，你用不着明确意识到由此触发的消化过程。
因为导线的行为取决于统计效应，其中成千上万的随机事件彼此抵消，导致了整体行为的可预测性。
对大多数计算机程序来说，程序中每一位的值都对打印的结果起着关键性的作用。如果任何一位被改变，输出也会大幅度地改变。
对煤气的微观和宏观描述使用的是完全不同的词汇。前者需要说明其中每一个分子的位置和速度，而后者只需要说明三个新引进的量：温度、压力和容量
把这三个参数联系在一起的简单数学关系——pV=cT，其中c是个常数——是一条既依赖于低层现象，又独立于低层现象的定律。说得再明白一点，这条定律可以从主宰着分子层次的定律中被推导出来，在这个意义上它依赖于低层。另一方面，这条定律允许你完全不考虑低层，如果你愿意的话。在这个意义上它又独立于低层。
重要的是，要认识到高层定律是不能用低层描述的词汇表里的词来叙述的。“压力”和“温度”是一些新词，它们所代表的经验是不能在低层次上传达的。我们人是直接感知温度和压力的，我们的构造就是如此，因此我们能发现这一定律也就不足为奇了。但如果有一种生物仅把气体看作纯理论的数学结构，那它们在发现这一定律时就必须具有一种综合出新概念的能力。
你可以去问一个短跑运动员：“你能用10秒5跑100米，那10秒5这个数字存储在你身体里的什么地方？”显然，哪里也没有。这个时间是他的身体构造和他的反应时间的一个结果。在他跑的时候，有成千上万个因素在相互作用。这个时间是完全可以再现的，但它却没有存储在他体内的任何地方。它分布在他身体的所有细胞中，只有在奔跑的行动中才能表现出来。
“上当受骗”就是这样一种性质。你容易上当吗？是不是你脑子里有个“上当中心”？如果是这样的，能不能找个神经外科医生，打开你的头骨做一个精巧的手术，以后你就会少上当了？如果你相信这种观点，那你可就太容易上当了，或许你应当考虑去做这样一个手术。
或许根本就不可能把思维过程分解到整齐的、模块化的子系统中去？大脑是更像一个原子，还是更像一个重正后的电子，或一个原子核、一个中子、一个夸克？自我意识是一种旁效现象吗？为了理解心智，我们是否一定要深入到神经细胞的层次？
你们二位各自看到的那两个词，要么是对方看到的那个词的构成成份，要么是由对方看到的词所组成
整体论是你能在这个世界里找得到的最普通不过的事。它是说“整体大于各个部分的总合。”
简化论是你能在这个世界里找得到的最普通不过的事。它是说“如果你理解了一个整体的各个部分，以及把这些部分‘整和’起来的机制，那么你就能够理解这个整体。”
不过我猜错的时候比猜对的时候要多
这个蚁群中一定有一些聪明过人的蚂蚁，我敢肯定。食蚁兽：我看你依然没有弄明白这里面的层次区别。
所有蚂蚁要多笨就有多笨，打死它们也不会说话！阿基里斯：那么，进行交流的能力从何而来？一定是存在蚁群里的某个地方！
这种情况跟由神经元组成的人脑的构成没什么不同。当然没有人会认为单个的脑细胞本身是有智能的，并用它来解释人为什么能进行有智慧的谈话。
们可以随意游逛，互相擦拂，捡起小东西，排列成串，等等。但是它们从没有从这个小世界中，这个它们所在的蚂蚁系统中，跨出过一步。它们永远也不会这么做，因为它们没有作这种想象的智力。所以蚂蚁是种非常可靠的工具
它们在其限度之内也还是自由的，它们只是随随便便地转来转去，毫无条理，一点也不考虑作为更高一层存在的思想机能，
任何一只单个蚂蚁的活动你都是无法预知的，而另一方面，串本身似乎仍然是界说良好的、稳定的。这当然意味着单个蚂蚁并不是完全随意地跑来跑去
蚂蚁之间存在着某种程度的交流，这种信息传递恰好足以使它们避免完全随意的活动。靠着这种最低限度的交流。蚂蚁们可以互相提醒，以使它们意识到它们不是孤单的，而是正在同队友进行合作。这样就能调集大量的蚂蚁，用这种方式互相支援，去从事随便什么活动——例如组串——只是所需时间不限。我对脑外科手术模模糊糊的认识使得我坚信神经元的发射情形也是这样。一大堆神经元发射脉冲，以使另一个神经元发射，不是这样吗，老蟹？
每个神经元都从与它的输入线连在一起的那些神经元接收信号，如果输入的总和在某一时刻超过了临界点，这个神经元就会发射，并把它自己的输出脉冲传递到别的神经元，而这后一神经元也将发射——并沿着这条线一直传送下去
在正常情况下，我觉得我想些什么是受我自己控制的——可按你这种说法就整个儿颠倒了，你的意思好像是说“我”只是所有这些神经结构、自然规律控制的某种有机体的副产品，往坏里说则是由我那被歪曲了的感觉所造成的某种人为概念。换句话说，你让我觉得我并不知道我是谁——或者是什么——如果我还是个什么的话。
以排列成串为例来说——只有当蚂蚁的数量达到某一临界数量时，有条理的蚁群现象才会出现。
我现在已经能从你的描述里掌握“紊乱中的有序”这个观念了，可这离具有交谈能力还差得远呢。气体分子的随意碰撞同样也是混乱中的有序——这种混乱有三种参数可以对它进行描述：这就是体积、压强和温度。
这显示出在对蚁群行为的解释与对某一容器中气体行为的解释之间，存在着某种非常有趣的区别。解释气体的行为只要计算一下其分子运动的统计规律就行了。除了考虑这种气体本身以外，无需讨论别的什么比分子更高一层的结构因素。而在另一种情况下，对于蚁群，除非你弄清了结构的各个层次，否则你便无法理解——哪怕一点儿——这个蚁群的活动。
在气体的研究里，你可以从最低的层次——分子——一下子跳到最高的层次——气体本身。不存在结构上的中间层次。
蚁群中是怎样产生作为中间层次的有条理活动的呢？食蚁兽：这跟蚁群内存在着好几种不同种类别的蚂蚁有关。
正是蚁群里的这种活动使种姓分布不断得到更新，
如果你继续用低层次的单位——单个的蚂蚁——来思考问题，那你就会只见树木，不见森林。这种层次太微观了，当你从微观的角度进行思考时，你必然会漏掉更大规模上的现象
当蚂蚁想做成某件事时，它们就组成各种小“蚁队”，也就是凑在一起去干一件事。就像我前面提到过的那样，蚂蚁们的小团伙总是在不断地形成和解散
这是个极端重要的问题，因为这涉及到对有目的的行为——或者说是似乎有目的的行为——从信号角度所作的解释。从对它们的描述里，人们倾向于把信号的行为说成是旨在满足需要，从而把它称作“有目的”的。但你也可以从别的角度看这一问题。
蚁群的存在是由于它的种姓分布有一定的意义，而这一意义是在其整体水平上产生的。在比整体水平低的层次上，是看不到这种意义的。
你就会觉得各种机制的出现完全是对外界压力的自然反应，就像开水冒泡是对外在的热源的自然反应一样。我想你不会觉得开水冒泡有什么“意义”和“目的”
当我撇开进化过程而对此时此地的现象进行观察的时候，就又回到了那种目的论式的语言：即种姓分布的意义和信号的有目的性。我不仅在考虑蚁群时采用这种角度，而且当我考虑我自己和别人的大脑时，也是如此。
进化的确能创造奇迹，
要想理解种姓分布何以能被描述为某种有关外部世界的编码了的信息，这个观点是关键性的。
我喜欢把某些层次较高的蚁队称作“符号”
汉字中的笔划或单个儿的音符，都属于这种符号，它们是死的，有待于某个主动的系统去处理它们。
结构中的所有这些层次对于各种各类知识的储存都是必需的，有了这种知识储存，才能使这个机制变成“有智能的”，“有智能的”的意思在这里可以是这个词的任何合理的涵意。任何能运用语言的系统都基本上具有与此相同的一套内部层次。
但是你如果从大脑的最低层上溯一两个层次的话，你就会发现这些层次的机制在别的具有同等智力的系统中——比如蚁群中——有与它完全一致的对应物。
我对大脑的研究只是种业余爱好，所以无法一一细述它的神异之处。可是——如有不妥之处，老蟹，请不吝赐教
字作为具有意义的单位，是由笔划组成的，而笔划本身却不具有意义。这也正是符号与信号的区别所在
你加于被动符号上的意义，例如一页书中的某个字，实际上来源于你大脑中与之相对应的主动符号所产生的意义
为了了解整个儿结构，你必须省略掉构成这一结构的任何最基本的组成材料。
你的这番描述太违背人们的直观了，食大夫。如果你所言不差，事情似乎就会是：为了了解整个儿结构，你必须省略掉构成这一结构的任何最基本的组成材料。
只有在符号层次上，触发模式才有意义。比方说，你想象一下在我来拜访你时，你正在观察马姨。你无论观察得多仔细都行，不过，除了蚂蚁们的集聚、解散之外，你仍然什么也看不到。
我不敢说我已经完全理解了，但我会好好考虑它们的。
我从未听说过这种现象。不过我承认在这一领域里我完全是个外行。
思维必须依赖于在大脑硬件中对客观实在的表示。
这种同构把印刷符号映射到数、运算和关系，把印刷符号串映射到陈述
在大脑中我们没有印刷符号，但我们有更好的东西：能动的成分，它们可以存贮、传送并从其它能动成分接收信息。也就是说，我们有主动的符号，而不是被动的印刷符号。
对于一个人的各种描述并非都要联系于某个存贮着他姓名的中心符号。描述本身就可以被构造和处理。
这种“描述的演算”存在于思维的核心之中。它被称作是“内涵的”而非“外延的”，意思是描述可以“漂浮”着，而不落实在具体的已知客体上。思维的内涵性与其灵活性相关联，它使我们能够想象假设的世界，合并不同的描述，或把一个描述砍成分离的几段，等等。
一个神经元所面临的是这样一种决定——这种决定每秒要出现一千次——即是否“发射”
有些输入可能是否定输入，它们对来自其它地方的肯定输入起抵消作用。无论如何，都是这种简单的加法在支配着心智的最低层。
一个神经元的发射频率可达每秒上千次。
尽管单个神经元的输入很复杂，它却只能以一种非常基本的方式作出反应——发射，或不发射。这只具有很少量的信息。在传递加工大量信息的过程中，显然必须包括许多神经元
我们还知道小脑的作用是发送一系列脉冲到肌肉，
个体的精神差异是如何表现在脑的物理结构上的
如果我们来观察我的神经元的相互联系，我们是否能发现各种结构，它们可以被确定为以编码的形式表示了我所知道的特殊事物、我所具有的特殊信念、我怀有的特殊愿望、恐惧和好恶？
视网膜图像按照侧膝体中神经元的发射模式以一种直接的方式编码，虽然事实上那些神经元不像视网膜那样分布于一个二维平面上，而是分布在一个三维团块中。这就既保持了信息又把二维映射到三维，形成了一个同构
由于在视觉皮层中发现了能被复杂性不断增加的刺激所触发的细胞，有些人怀疑事情是否在向“一个细胞，一个概念”的方向发展——例如，你可能有一个“祖母细胞”，它当且仅当你的祖母进入视野时发射。
三个物种都在脑的后部为视觉加工“特供”了一部分皮层，即视觉皮层。
小牛似乎一生下来就已经达到它将来所可能具有的视觉分辨力。它会胆怯地回避人或狗，但不怕别的牛。有可能它的整个视觉系统在出生前就被“硬性联接”了，而且只涉及较少的视觉皮层。与此相反，人的视觉系统深深地依赖于皮层，而且要经过若干年才能成熟
视觉皮层就是块大尺度硬件，它的软件用途是很清楚的——视觉信息加工，但至今发现的所有加工过程仍都是层次很低的，远没有接近对象识别在皮层中的定位
沿着类似的思路还可以提出更复杂的解释，包括可以用不同的方式而非固定方式激活的网络。这样的网络就是我们大脑中的“符号”
这些模块甚至可能是软件现象，而非硬件现象
一个关于符号如何是处于活跃状态而非休眠状态的高层次描述就会是“它发出消息——或称信号——其目的是试图唤醒——或触发——其它符号”。
但我们已经对此不感兴趣了。高层次的描述应消除一切涉及神经元的说法，而完全集中于符号。这样，一个关于符号如何是处于活跃状态而非休眠状态的高层次描述就会是“它发出消息——或称信号——其目的是试图唤醒——或触发——其它符号”。
高层次的描述应消除一切涉及神经元的说法，而完全集中于符号。这样，一个关于符号如何是处于活跃状态而非休眠状态的高层次描述就会是“它发出消息——或称信号——其目的是试图唤醒——或触发——其它符号”。
符号是概念的硬件实现。一组神经元触发另一个神经元并不对应于外部事件，而一些符号对某个符号的触发却以某种方式对应着现实世界——或某个假想世界——中的事件。符号间通过来回传送消息来保持联系，其方式使得符号的触发模式与在我们的世界中发生的——或在一个类似于我们的世界中可能发生的——大尺度事件十分相像。意义在这里出现的原因实质上恰如在pq系统中的情形一样——同构。
到底是存在一个代表瀑布的一般观念的符号，还是各个具体的瀑布对应于不同的符号？或者上述两种方案同时都实现？
一个符号大略对应于那些你可用一个词或一个固定短语所表示的东西，或者对应于那些你指定了一个专有名称的东西。而在大脑中表示更复杂的观念——例如恋爱中碰到的一个难题——则可能需要一个非常复杂的符号激活序列。
在思维中有一种一般性的区别：范畴与个体，或类与例
最具体的事件可以被用作一类事件的一个一般范例。
特殊事件具有一种生动性，这使得它们可以被牢牢印在记忆中，以便后来被当作在某个方面与它们相似的其它事物的模型。因此，在每个具体事件中，都蕴含着全部相似事件组成的类的萌芽。一般性即寓于特殊性之中，这个思想具有深远的重要性。
一个新的例也能以同样的方式通过一段时间从它的“父母”类中分离出来，凭本身的资格成为一个类或一个原型。
尽管进行了几个世纪的工作，三个天体通过万有引力相互作用（例如地球、月亮和太阳）的一般问题还远没有得到解决
我们是怎样形成一个茶杯中有三只鸡，或一个电梯里有几个人的图像的？我们是不是从“鸡”的类符号开始，然后从它上面抹下三个“复本”？也就是说，我们是不是用类符号“鸡”作模板，构造了三个新的例符号？还是连带地激活符号“三”和“鸡”
我们显然不是为所见到过的每个鼻子、胡子、盐粒等等都分别设立例符号。我们用类符号来处理这些为数众多的项目
符号间的重叠和缠结很可能已成惯例，因此每个神经元也许会成为上百个符号的功能部件
像池塘水面上的两个涟漪一样彼此穿过
使用这一类比时，我无意要走得那么远，以至于认为所有不同的符号只不过是在统一的神经介质上传播的不同类型的“波”
自足地解释高层次的符号激活通讯——建立一个不涉及低层神经事件的理论。如果后者是可能的——这是目前进行的所有人工智能研究的基础中的一个关键假设——那么智能就可能实现于不同于大脑的其它硬件上。那将表明智能是一种可以从它所在的硬件中“抽取”出来的性质——换句话说，智能将是一种软件性质。
这里我们要回到蚁群那神秘的集体行为。它们能建造巨大而复杂的蚁穴，尽管事实上一只蚂蚁的脑中仅有约十万个神经元，几乎不可能载有关于蚁穴结构的任何信息。那么蚁穴是如何构造的呢？信息来自何处？特别是可以考虑一下从哪里能找到描述一个图69所示的拱的信息。它们一定是以某种方式散布在蚁群中，在等级分布中，在年龄分布中——而且很可能大部分在蚂蚁身体内部的物理性质中
如果我如此这般地行动——在假想的世界中会出现什么情况呢
这种思维过程所需要的能力是：构造例并处理它们，就好像它们是代表真实情况下的对象的符号

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